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Flusseigenschaft Markov-Ketten: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:07 Di 02.06.2020
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Sei $P$ eine Übergangsmatrix auf dem endlichen Zustandsraum $S$. Zeige, dass für jede stationäre Verteilung [mm] $\pi$ [/mm] und für alle $A [mm] \subset [/mm] S$ gilt:
[mm] $\summe_{i \in A}^{} \summe_{j \in S \backslash A}^{} \pi_{i} [/mm] p(i,j) = [mm] \summe_{i \in S \backslash A}^{} \summe_{j \in A}^{} \pi_{i} [/mm] p(i,j) $.

Guten Tag,

ich komme bei der oben beschriebenen Aufgabe nicht weiter. Da $P$ eine Übergangsmatrix ist, ergeben die Zeilensummen der Matrix 1. dies gilt ebenfalls für die Komponenten der stationären Verteilung. Meine Idee war es nun, diese Beziehung auszunutzen, um den oben beschriebenen Ausdruck entsprechend umzuformen, zum Beispiel so:

[mm] $\summe_{i \in A}^{} \summe_{j \in S \backslash A}^{} \pi_{i} [/mm] p(i,j) = [mm] \summe_{i \in S \backslash A}^{} \pi_{i} \summe_{j \in A}^{} [/mm] p(i,j) = [mm] \summe_{i \in S \backslash A}^{} \pi_{i} (1-\summe_{j \in S\backslash A}^{} [/mm] p(i,j)) $

Allerdings komme ich dann nicht weiter. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!

Beste Grüße
mathe_thommy

        
Bezug
Flusseigenschaft Markov-Ketten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 07.06.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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