Fluß eines Vektorfeldes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 08.02.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Gesucht ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfl. des Kreiskegels K. (gerader).
F(x,y,z) = [mm] \vektor{xz \\ yz \\ -z}
[/mm]
K = {(x,y,z) [mm] \in\R^{3} [/mm] : [mm] 0\lez\le1-\wurzel{x^{2} + y^{2}}}
[/mm]
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Hallo!
Erstmal: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
So, jetzt zur Aufgabe.
Mit dem Satz von Gauß bekomme ich folgendes heraus:
div F(x,y,z) = 2*z-1
Parametrisierung
c:[0,1]x[0,2[mm] \pi [/mm]]x[0,1] [mm] \to \IR^{3}[/mm]
c(r,[mm] \varphi[/mm],s) = [mm] \vektor{(1-s)*r* \cos\varphi \\ (1-s)*r* \sin\varphi \\ s}[/mm]
[mm] \left| det(c') \right| = (1-s)^{2}*r[/mm]
[mm] \integral_{K}^{}{div(v) dV} = -\bruch{1}{6}*\pi [/mm]
Allerdings bekomme ich [mm] -\bruch{2}{6}*\pi [/mm] heraus, wenn ich es geradezu berechne:
Ich parametrisiere den Mantel und den Boden:
[mm]
a:[1,2\pi]x[0,1] \to \IR^{3}
a(\varphi, r) = ((1-r)* \sin \varphi, (1-r)* \cos \varphi, r)
b:[1,2\pi]x[0,1] \to \IR^{3}
b(\varphi, s) = (s* \cos \varphi, s* \sin \varphi, 0)
[/mm]
Als erstes bestimme ich den Normalenvektor zur Oberfl. des Mantels:
[mm]
N(a(r,\varphi)) = \vektor{(1-r)* \cos \varphi \\ (1-r)* \sin \varphi \\ 1-r}
[/mm]
Dessen Betrag ist:
[mm]
\left| N(a(r,\warphi)) \right| = \wurzel{2}* (1-r)
[/mm]
Also ist der Einheitsnormalenvektor:
[mm]
n(a(r,\varphi)) = \bruch{1}{\wurzel{2}}* \vektor{ \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 1}
[/mm]
Habe ich bei meinen Berechnungen oben schon irgendwo einen Fehler?
Tja, danach habe ich dann folgendes berechnet:
[mm]
\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{\left\langle F(a(r,\varphi)), n(a(r,\varphi)) \right\rangle * \left| N(a(r,\warphi)) \right| dr}d\varphi}
[/mm]
Ich hoffe, ihr habt Lust und Zeit mal drüber zu schauen. Wenn ich noch mehr Zwischenschritte schreiben soll, sagt einfach Bescheid!
Einen schönen Abend noch!
ilfairy
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Hallo ilfairy,
> Gesucht ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfl.
> des Kreiskegels K. (gerader).
> F(x,y,z) = [mm]\vektor{xz \\ yz \\ -z}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> K = {(x,y,z) [mm]\in\R^{3}[/mm]
> : [mm]0\lez\le1-\wurzel{x^{2} + y^{2}}}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Erstmal: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> So, jetzt zur Aufgabe.
> Mit dem Satz von Gauß bekomme ich folgendes heraus:
> div F(x,y,z) = 2*z-1
> Parametrisierung
> c:[0,1]x[0,2[mm] \pi [/mm]]x[0,1] [mm]\to \IR^{3}[/mm]
>
> c(r,[mm] \varphi[/mm],s) = [mm]\vektor{(1-s)*r* \cos\varphi \\ (1-s)*r* \sin\varphi \\ s}[/mm]
>
> [mm]\left| det(c') \right| = (1-s)^{2}*r[/mm]
>
> [mm]\integral_{K}^{}{div(v) dV} = -\bruch{1}{6}*\pi[/mm]
>
>
> Allerdings bekomme ich [mm]-\bruch{2}{6}*\pi[/mm] heraus, wenn ich
> es geradezu berechne:
>
> Ich parametrisiere den Mantel und den Boden:
> [mm]
a:[1,2\pi]x[0,1] \to \IR^{3}
a(\varphi, r) = ((1-r)* \sin \varphi, (1-r)* \cos \varphi, r)
b:[1,2\pi]x[0,1] \to \IR^{3}
b(\varphi, s) = (s* \cos \varphi, s* \sin \varphi, 0)
[/mm]
>
> Als erstes bestimme ich den Normalenvektor zur Oberfl. des
> Mantels:
> [mm]
N(a(r,\varphi)) = \vektor{(1-r)* \cos \varphi \\ (1-r)* \sin \varphi \\ 1-r}
[/mm]
Der Normalenvektor der Oberfläche des Mantels lautet doch so:
[mm]
N(a(r,\varphi)) = \vektor{(1-r)* \red{\sin} \ \varphi \\ (1-r)* \red{\cos} \ \varphi \\ 1-r}
[/mm]
>
> Dessen Betrag ist:
> [mm]
\left| N(a(r,\warphi)) \right| = \wurzel{2}* (1-r)
[/mm]
>
> Also ist der Einheitsnormalenvektor:
> [mm]
n(a(r,\varphi)) = \bruch{1}{\wurzel{2}}* \vektor{ \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 1}
[/mm]
>
> Habe ich bei meinen Berechnungen oben schon irgendwo einen
> Fehler?
>
> Tja, danach habe ich dann folgendes berechnet:
> [mm]
\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{\left\langle F(a(r,\varphi)), n(a(r,\varphi)) \right\rangle * \left| N(a(r,\warphi)) \right| dr}d\varphi}
[/mm]
>
>
>
> Ich hoffe, ihr habt Lust und Zeit mal drüber zu schauen.
> Wenn ich noch mehr Zwischenschritte schreiben soll, sagt
> einfach Bescheid!
>
>
> Einen schönen Abend noch!
>
> ilfairy
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du hast bei der Parametrisierung des Kegelmantels sin und cos vertauscht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mo 08.02.2010 | | Autor: | ilfairy |
Danke für die schnelle Antwort!
So ein kleiner dummer Fehler..
Ich habe jetzt alles nochmal berechnet und es kam das gleiche Ergebnis raus!
Vielen Dank für eure Hilfe bei der Fehlersuche!
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