Flächeninhalt berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Von den Graphen der Funktionen f1(x) = [mm] (x-3)^{2} [/mm] f2(x) [mm] =1/4(x+1)^{2}-4 [/mm] und der y-Achse
wird eine Fläche eingeschlossen. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. |
Hallo, habe unten meine Rechnung zur Aufgabe, möchte eigentlich nur wissen ob das Ergebniss bzw. meine Rechnung richtig ist. Danke für Antworten
MFG stud-ing
Berechnung:
Schnittpunkte mit der y-Achse:
f1(0)= 9
f2(0)=-3,75
[mm] f1(x)=f2(x)=3/4x^2-6,5x+51/4
[/mm]
[mm] A=\integral_{-3,75}^{9}{3/4x^2-6,5x+51/4) dx}
[/mm]
[mm] =[1/4x^3-3,25x^2+51/4x]^{9}_{-3,75}
[/mm]
= 135/4 - 11478/256 = 2835/256
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Hallo stud-ing,
> Von den Graphen der Funktionen f1(x) = [mm](x-3)^{2}[/mm] f2(x)
> [mm]=1/4(x+1)^{2}-4[/mm] und der y-Achse
> wird eine Fläche eingeschlossen. Berechnen Sie den Inhalt
> dieser Fläche.
> Hallo, habe unten meine Rechnung zur Aufgabe, möchte
> eigentlich nur wissen ob das Ergebniss bzw. meine Rechnung
> richtig ist. Danke für Antworten
>
> MFG stud-ing
>
>
> Berechnung:
>
> Schnittpunkte mit der y-Achse:
>
> f1(0)= 9
> f2(0)=-3,75
>
> [mm]f1(x)=f2(x)=3/4x^2-6,5x+51/4[/mm]
>
> [mm]A=\integral_{-3,75}^{9}{3/4x^2-6,5x+51/4) dx}[/mm]
>
> [mm]=[1/4x^3-3,25x^2+51/4x]^{9}_{-3,75}[/mm]
>
> = 135/4 - 11478/256 = 2835/256
>
Das stimmt leider nicht.
Die Begrenzung durch die y- Achse liefert die Integrationsgrenze x=0.
Die zweite Integrationsgrenze erhältst Du,
wenn f1(x) mit f2(x) geschnitten wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
Also wäre das dann im Intervall von [0,3] und [9,-15/4] ?
durch schneiden von f1 und f2 bekomme ich ja [mm] 3/4x^2-26/3x+17 [/mm] und die Nullstellen x1= 17/3 und x2= 3
Hab mir das als Skizze aufgezeichnet und da wird die Y-achse bei +9 und -15/4 eingeschlossen und die beiden Graphen schneiden sich bei (3/0).
Versteh leider nicht was daran falsch ist oder muss ich das in 2 Teilabschnitte aufteilen?
MFG stud-ing
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Hallo stud-ing,
> Also wäre das dann im Intervall von [0,3] und [9,-15/4] ?
>
> durch schneiden von f1 und f2 bekomme ich ja
> [mm]3/4x^2-26/3x+17[/mm] und die Nullstellen x1= 17/3 und x2= 3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hab mir das als Skizze aufgezeichnet und da wird die
> Y-achse bei +9 und -15/4 eingeschlossen und die beiden
> Graphen schneiden sich bei (3/0).
>
> Versteh leider nicht was daran falsch ist oder muss ich das
> in 2 Teilabschnitte aufteilen?
Wenn Du nach y integrierst musst Du das machen.
Das musst Du nicht, wenn Du nach x integrierst.
Da Du Grenzen für y bei Deinem Integral gesetzt hast,
mußt Du auch nach y integrieren, dann kommt auch
das Richtig heraus. Dazu brauchst Du aber die Umkehr-
funktionen von f1(x) und f2(x).
Integrierst Du nach x, so benötigst Du nur den am nächsten
bei x=0 gelegenen Schnittpunkt von f1(x) und f2(x).
>
> MFG stud-ing
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
Wie wirde denn die Umkehrfunktion von f1 ,f2 lauten ?
mfg stud-ing
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Hallo stud-ing,
> Wie wirde denn die Umkehrfunktion von f1 ,f2 lauten ?
>
Um die Umkehrfunktionen von f1 bzw f2 zu berechnen,
löse die Gleichungen
[mm]y=f_{1}\left(x\right)[/mm] und [mm]y=f_{2}\left(x\right)[/mm]
nach x auf.
>
> mfg stud-ing
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
f1(x)= [mm] x^2-6x+9 [/mm]
[mm] x=\wurzel{1/6y+-9/6}/2 [/mm]
[mm] y=\wurzel{1/6x+-9/6}/2
[/mm]
f2(x)= [mm] x^2+2x-15
[/mm]
[mm] x=\wurzel{-1/2y-7,5}/2 [/mm]
[mm] y=\wurzel{-1/2x-7,5}/2
[/mm]
wie gehts weiter ?
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Hallo stud-ing,
> f1(x)= [mm]x^2-6x+9[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{1/6y+-9/6}/2[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{1/6x+-9/6}/2[/mm]
>
>
>
> f2(x)= [mm]x^2+2x-15[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{-1/2y-7,5}/2[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{-1/2x-7,5}/2[/mm]
Die Umkehrfunktionen stimmen nicht.
Die Auflösung von [mm]y=\left(x-3\right)^{2}[/mm] nach x ergibt:
[mm]x=3\pm\wurzel{y}, y \ge 0[/mm]
Da x Werte zwischen 0 und 3 annehmen kann, ist
[mm]x=3-\wurzel{y}, y \ge 0[/mm]
die richtige Umkehrunktion für diesen Bereich.
Damit lautet das erste zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{0}^{9}{3-\wurzel{y} \ dy}[/mm]
>
> wie gehts weiter ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
2. Umkehrfunktion
f2(x)= [mm] x^2+2x-15
[/mm]
[mm] x=-1^{+}_{-}\wurzel{16y}
[/mm]
2. Integral
[mm] \integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{16y}{dy}
[/mm]
stimmt das soweit ?
mfg stud-ing
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Hallo stud-ing,
> 2. Umkehrfunktion
>
>
> f2(x)= [mm]x^2+2x-15[/mm]
>
> [mm]x=-1^{+}_{-}\wurzel{16y}[/mm]
Der Ausdruck unter der Wurzel stimmt nicht.
>
> 2. Integral
>
> [mm]\integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{16y}{dy}[/mm]
>
>
> stimmt das soweit ?
>
> mfg stud-ing
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
[mm] \integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{16y} [/mm] dy
ist das dy gemeint oder 16y ?
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Hallo stud-ing,
> [mm]\integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{16y}[/mm] dy
>
> ist das dy gemeint oder 16y ?
>
Der Ausdruck unter der Wurzel, demnach die "16y".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
[mm] \integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{y}+4 [/mm] dy
ist das so richtig ?
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Hallo stud-ing,
> [mm]\integral_{-15/4}^{0}-1+\wurzel{y}+4[/mm] dy
>
>
> ist das so richtig ?
So ist das richtig:
[mm]\integral_{-15/4}^{0}-1+\blue{2\wurzel{y+4}} \ dy[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Fr 21.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
[mm] \integral_{-15/4}^{0}-1+\blue{2\wurzel{y+4}} [/mm] \ dy
Kann ich jetzt schon 0 und -15/4 einsetzen oder muss ich die noch umstellen, wenn ja wie bekomme ich die wurzel umgestellt ?
mfg stud- ing
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> [mm]\integral_{-15/4}^{0}-1+\blue{2\wurzel{y+4}}[/mm] \ dy
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> Kann ich jetzt schon 0 und -15/4 einsetzen oder muss ich
> die noch umstellen, wenn ja wie bekomme ich die wurzel
> umgestellt ?
Naja, du musst es halt noch integrieren. Wenn du das mit "umstellen" meinst, dann musst du das noch machen.
>
>
> mfg stud- ing
Ich schreib nochmal alles zusammen auf - hab gerade ein bisschen Zeit und ich finde es gerade ganz schön durcheinander, wenn man dir helfen will.
Ausgangspunkt waren doch die beiden Funktionen:
$f(x) = [mm] (x-3)^{2}$
[/mm]
und
$g(x) = [mm] \frac{1}{4}*(x+1)^{2} [/mm] - 4$
Bestimmung der Umkehrfunktionen
Erst von f:
$y = [mm] (x-3)^{2} [/mm] $
Dann ist $ x = 3 [mm] \pm \wurzel{y}$.
[/mm]
Dich interessiert von f der Definitionsbereich x [mm] \in [/mm] [0,3], also ist das der Wertebereich deiner Umkehrfunktion. Der Wertebereich von f ist dann [0,9], d.h. hier muss y [mm] \in [/mm] [0,9] sein. Das ist erfüllt für [mm] \overline{f}(y) [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{y}.
[/mm]
Okay, jetzt die Umkehrfunktion von g:
$y = [mm] \frac{1}{4}*(x+1)^{2} [/mm] - 4$ | $*4$
$4y = [mm] x^{2} [/mm] + 2x - 15$
[mm] $x^{2} [/mm] + 2x -15 -4y = 0$
[mm] $x_{1,2} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{1 + 15 + 4y} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{16+4y} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{4*(4+y)} [/mm] = -1 [mm] \pm 2*\wurzel{y + 4}$
[/mm]
Gleiche Überlegung wie bei f: Es geht um den Bereich $x [mm] \in [/mm] [0,3]$, deshalb muss [mm] $\overline{g}(y) [/mm] = -1 + 2* [mm] \wurzel{y + 4}$ [/mm] sein und für y ergibt sich der Bereich [mm] $\left[-\frac{15}{4}, 0 \right]$.
[/mm]
Die Integrale
$ [mm] \integral_{0}^{9}{\overline{f}(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{9}{\left(3-\wurzel{y}\right) dy} [/mm] = 9$ (einfache Stammfunktion)
und
$ [mm] \integral_{-\frac{15}{4}}^{0}{\overline{g}(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{-\frac{15}{4}}^{0}{\left(-1+2*\wurzel{y+4}\right) dy} [/mm] = 6,75$ (auch eine einfache Stammfunktion)
Die beiden noch addieren und das war es dann auch schon  .
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 23.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
Vielen Dank an Alle, die mir zu meinen Fragen Antworten geschrieben haben.
MFG stud-ing
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Hi,
vielleicht magst du ja auch noch den klassischen Weg ohne die Umkehrfunktionen sehen, falls du den nicht ohnehin schon selbst gelöst hast (es steht glaube ich nirgends).
$f(x) = [mm] (x-3)^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - 6x + 9$
$g(x) = [mm] \frac{1}{4}*(x+1)^2-4 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}x^{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}x [/mm] - [mm] \frac{15}{4}$
[/mm]
Die Schnittpunkte hast du schon berechnet und gesucht ist ja die Fläche A, die von den beiden Graphen mit der y-Achse eingeschlossen wird. Die reicht bis zu dem Schnittpunkt der beiden Funktionen, der näher an der y-Achse dran liegt, also bis x = 3.
(Anmerkung: Mir hilft immer ein Plot der Funktionen, dann hab ich auch beim Rechnen immer vor Augen, was ich da eigentlich tue.)
Der Vorgang ist nun sehr einfach:
$A = [mm] \left| \integral_{0}^{3}{(f(x)-g(x)) dx} \right|$
[/mm]
Den Betrag brauchst du, damit du dir nicht überlegen musst, welche der beiden Funktionen oberhalb der anderen liegt.
Dort setzt man die Funktionen ein, es ist ein simples Integral und man bekommt am Ende als Flächeninhalt 15 [mm] \frac{3}{4} [/mm] Flächeneinheiten raus.
Wenn du das schon selbst gemacht hast, dient es vielleicht anderen Lesern, die einen Schock bekommen, wenn sie die Lösung über die Umkehrfunktionen sehen, weil sie die nicht gewohnt sind. (Die andere Lösung ist auch gut und manchmal besser als diese hier, aber in solch einfachen Fällen wie bei dieser Aufgabe empfinde ich diesen Weg hier als einfacher).
lg weightgainer
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