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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 12.03.2006 | | Autor: | taurec |
| Aufgabe | 2.) Gegeben sind die punkte A [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 0} [/mm] C [mm] \vektor{1-2t \\ t \\ 3}
[/mm]
a) Weise nach, dass für jedes t die punkte A,B,C ein Dreieck bilden.
(ja sie bilden ein Dreieck da sie linear unabhängig sind)
b) Berechne in Abhängigkeit von t die maßzahl A(t) des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC. ( A= 3/2 * [mm] \wurzel{ t^2 + 2t +42} [/mm] |
Also A= 1/ 2 g h
g= | [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] |=| [mm] \vektor{-6 \\ 2\\ -1}|= \wurzel{41}
[/mm]
d=h= [mm] \bruch{| [ \vektor{4 \\ 1\\ 1} - \vektor{1-2t \\ t\\ 3}] * \vektor{6 \\ -2\\ 1}| }{\wurzel{41}} [/mm] = [mm] \bruch{| \vektor{3+2t \\ 1-t\\ -2 }
* \vektor{6 \\ -2 \\ 1}}{\wurzel{41}}
[/mm]
So weit so gut. d= [mm] \bruch{| 18+12t-2+2t-2 |}{\wurzel{41}}
[/mm]
Dann wäre A= 1/ 2 | 14 +14t| was aber nicht stimmt nach der Lösungsvorgabe.
Danke für die Hilfe.
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 12.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo taurec!
Ich bin jetzt die Lösung nicht weiter durchgegangen. Aber die Flächenformel für ein Dreieck lautet:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\red{2}}*g*h_g$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 So 12.03.2006 | | Autor: | taurec |
ich versuchs mal mit 1/2 | AB x AC|
1/2 | [mm] \vektor{-6 \\ 2\\ -1 } [/mm] x [mm] \vektor{-3-2t \\ t-1\\2 } [/mm] = 1/2 [mm] \vektor{ 3+t \\ 2t+15\\ -2t+12 }
[/mm]
= 1/2 [mm] \wurzel{( 3+t )^2 +(2t+15)^2 +( -2t +12 )^2}
[/mm]
= 1/2 [mm] \wurzel{ 9t^2 + 18t + 378}
[/mm]
Und schließlich: 3* [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{ t^2 + 2t + 42}
[/mm]
Danke für die Hilfe. ( Korrigiert )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 12.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Taurec,
also zunächst einmal zur Aufgabe a). Die Begründung ist nicht ganz richtig, entscheidend ist,
dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Um die Fläche des Dreiecks zu berechnen
bietet es sich das Kreuzprodukt an, wie du auch in deiner Mitteilung schreibst.
[mm] $A=\frac{1}{2}*|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB}|$ [/mm] mit [mm] $\overrightarrow{AB}= \vektor{-6 \\ 2 \\ -1}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}= \vektor{-3-2t \\ t-1 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $A=\frac{1}{2}|\vektor{4+(t-1) \\ -(-12+(-3-2t)) \\ -6(t-1)-2(-3-2t)}|=\frac{1}{2}|\vektor{3+t \\ 15+2t \\ 12-2t}|$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\sqrt{(3+t)^2 + (15+2t)^2 +(12-2t)^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\sqrt{9t^2+18t+378}=...$
[/mm]
Gruß
Nicolas
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