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Flächeninhalt Einheitskreis: "Korrektur"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Di 21.06.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Bestimmen Sie das dem Einheitskreis einbeschriebene n-Eck [mm] (n\ge [/mm] 3) mit dem größten Flächeninhalt. Gehen Sie dabei wie folgt vor.

(a) Erläutern Sie, warum die Funktion [mm] F_{n}: \IR^{n} \to \IR, F_{n}(x):=\bruch{1}{2}\summe_{i=1}^{n}sin(x_{i}) [/mm] den Flächeninhalt des durch die Winkel
[mm] (x_{1},\ldots ,x_{n}) [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi [/mm] (und [mm] 0\le x_{i}\le 2\pi) [/mm] bestimmten n-Ecks beschreibt. (Hierbei sei [mm] x_{i} [/mm] der Winkel zwischen den Strahlen, die vom Mittelpunkt des Einheitskreises durch den i-ten bzw. den (i + 1)-ten Eckpunkt gehen.)

b) Bestimmen Sie eine mögliche Stelle [mm] x\in \IR^{n} [/mm] für das Maximum der Funktion [mm] F_{n} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators.

c) Warum ist [mm] F_{n} [/mm] an der Stelle x aus b) wirklich maximal? Begründen Sie, für welches [mm] x\in \IR^{n} [/mm] der Flächeninhalt des n-Ecks maximal ist und geben Sie eine geometrische Deutung Ihres Ergebnisses an.

Hallo!

Ich wollte mal wissen, ob meine Lösung an sich korrekt ist.

a) Der Flächeninhalt von einem Dreieck kann beschrieben werden mit der Formel [mm] A=\bruch{a*b*sin{\gamma}}{2}. [/mm] Da es sich hier um den Einheitskreis handelt entsprechen die Seiten a und b den Radien und haben somit den Wert 1. Es bildet also immer ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel x zwischen den Seiten a und b. Addiert man nun also viele dieser Dreiecke miteinander, dass eine komplette Periode (also [mm] 2\pi) [/mm] durchgegangen wird, so entspricht dass 360°, also der Gradzahl des Kreises. Somit sind die addierten Flächen dann entsprechend dem Flächeninhalt des Einheitskreises.
b) Langrange-Multiplikator:
Sei [mm] h(x_{1},\ldots ,x_{n}, \lambda)= F_{n}(x)+\lambda *\summe_{i+1}^{n}x_{i} [/mm]
(1): [mm] L_{x_{1}}=\bruch{1}{2}cos(x_{1})+\lambda=0 [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
(n): [mm] L_{x_{n}}=\bruch{1}{2}cos(x_{n})+\lambda=0 [/mm]
(n+1): [mm] L_{\lambda}=\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{i}=cos^{-1}(-2\lambda) [/mm] und [mm] \lambda =-\bruch{1}{2}cos(x_{i}) [/mm] (Habe es hier [mm] x_{i} [/mm] genannt, da man alle Gleichungen 1 - n so umformen kann.)
[mm] \Rightarrow x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n} [/mm]

Also müssen alle Winkel immer gleich groß sein und wegen der Anfangsbedingung aus der Aufgabe [mm] n\ge [/mm] 3 sind es mindestens immer drei Dreiecke.

c) Wichtig ist, dass die Winkelsumme von x immer 360° betragen muss und dass es mindestens ein Dreieck bildet. So bildet das Konstrukt immer ein n-Eck innerhalb des Kreises.

So wirklich einen Fehler finde ich dabei nicht, doch auch absolut sicher bin ich mir nicht. Daher eben die bitte auf Korrektur.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Flächeninhalt Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Di 21.06.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie das dem Einheitskreis einbeschriebene n-Eck
> [mm](n\ge[/mm] 3) mit dem größten Flächeninhalt. Gehen Sie dabei
> wie folgt vor.
>
> (a) Erläutern Sie, warum die Funktion [mm]F_{n}: \IR^{n} \to \IR, F_{n}(x):=\bruch{1}{2}\summe_{i=1}^{n}sin(x_{i})[/mm]
> den Flächeninhalt des durch die Winkel
> [mm](x_{1},\ldots ,x_{n})[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi[/mm] (und
> [mm]0\le x_{i}\le 2\pi)[/mm] bestimmten n-Ecks beschreibt. (Hierbei
> sei [mm]x_{i}[/mm] der Winkel zwischen den Strahlen, die vom
> Mittelpunkt des Einheitskreises durch den i-ten bzw. den (i
> + 1)-ten Eckpunkt gehen.)
>  
> b) Bestimmen Sie eine mögliche Stelle [mm]x\in \IR^{n}[/mm] für
> das Maximum der Funktion [mm]F_{n}[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}[/mm] mit Hilfe des
> Lagrange-Multiplikators.
>  
> c) Warum ist [mm]F_{n}[/mm] an der Stelle x aus b) wirklich maximal?
> Begründen Sie, für welches [mm]x\in \IR^{n}[/mm] der
> Flächeninhalt des n-Ecks maximal ist und geben Sie eine
> geometrische Deutung Ihres Ergebnisses an.
>  Hallo!
>  
> Ich wollte mal wissen, ob meine Lösung an sich korrekt
> ist.
>
> a) Der Flächeninhalt von einem Dreieck kann beschrieben
> werden mit der Formel [mm]A=\bruch{a*b*sin{\gamma}}{2}.[/mm] Da es
> sich hier um den Einheitskreis handelt entsprechen die
> Seiten a und b den Radien und haben somit den Wert 1.

Das kann man durchgehen lassen.




> Es
> bildet also immer ein gleichschenkliges Dreieck mit dem
> Winkel x zwischen den Seiten a und b.


Was ist "Es" ?

>  Addiert man nun also
> viele dieser Dreiecke miteinander,


Viele ? 4711 Stück oder 760654 Stück oder ???



>  dass eine komplette
> Periode (also [mm]2\pi)[/mm] durchgegangen wird, so entspricht dass
> 360°, also der Gradzahl des Kreises.

Man kann ahnen, was Du sagen willst, Mathematik ists aber nicht.


> Somit sind die
> addierten Flächen dann entsprechend dem Flächeninhalt des
> Einheitskreises.


Lies Dir diesen Satz noch mal durch ! Sei ehrlich: was steht da ?


> b) Langrange-Multiplikator:
>  Sei [mm]h(x_{1},\ldots ,x_{n}, \lambda)= F_{n}(x)+\lambda *\summe_{i+1}^{n}x_{i}[/mm]
>  
> (1): [mm]L_{x_{1}}=\bruch{1}{2}cos(x_{1})+\lambda=0[/mm]
>  [mm]\vdots[/mm]
>  (n): [mm]L_{x_{n}}=\bruch{1}{2}cos(x_{n})+\lambda=0[/mm]
>  (n+1): [mm]L_{\lambda}=\summe_{i=1}^{n}x_{i}=2\pi[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x_{i}=cos^{-1}(-2\lambda)[/mm] und [mm]\lambda =-\bruch{1}{2}cos(x_{i})[/mm]
> (Habe es hier [mm]x_{i}[/mm] genannt, da man alle Gleichungen 1 - n
> so umformen kann.)
>  [mm]\Rightarrow x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}[/mm]

Ja, und wie groß ist ein solches [mm] x_i [/mm] ???


>  
> Also müssen alle Winkel immer gleich groß sein und wegen
> der Anfangsbedingung aus der Aufgabe [mm]n\ge[/mm] 3 sind es
> mindestens immer drei Dreiecke.
>
> c) Wichtig ist, dass die Winkelsumme von x immer 360°
> betragen muss


>  und dass es mindestens ein Dreieck bildet.

Es ?


> So
> bildet das Konstrukt immer ein n-Eck innerhalb des Kreises.


Das kann man keinesfalls als Lösung von c) durchgehen lassen !

FRED

>
> So wirklich einen Fehler finde ich dabei nicht, doch auch
> absolut sicher bin ich mir nicht. Daher eben die bitte auf
> Korrektur.
>
> Gruß
>  Ardbeg


Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt Einheitskreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Do 23.06.2016
Autor: Ardbeg

Hallo!

Danke für die Korrektur. Stimmt habe es an einigen Stellen nicht sehr gut erklärt zum Beispiel war mit es das n-Eck gemeint. Denke aber mal, dass ich es soweit habe.
Der Wert für [mm] x_{i} [/mm] wäre [mm] \bruch{2\pi}{n}. [/mm]


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