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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 23.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | Berechne den Flächeninhalt für:
[mm] \vec x(r,t)=\begin{pmatrix} rcost \\rsint \\t \end{pmatrix} [/mm]
[mm] 5\le r \le 9[/mm] ; [mm] 0\le t \le 2\pi[/mm] |
Hallo zusammen!
Kann mir bitte einer einen Tipp geben, wie ich solch eine Aufgabe anpacken muss? Ich weiss hier nähmlich überhaupt nicht wo die Glocken hängen. :o(
Danke
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Hallo,
wichtig ist zunächst mal, dass du eine geometrische anschauung von dem objekt entwickelst, dass du hier messen sollst.
da du zwei parameter hast, die in den [mm] $\IR^3$ [/mm] abbilden, handelt es sich um eine 2-dim. Fläche im Raum. Den Flächeninhalt bestimmst du mithilfe der Gramschen Determinante (auch Oberflächen-Element genannt).
Schau mal in deinen unterlagen bzw. im netz nach!
Gruß
Matthias
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Hallo noidea44!
Der Flächeninhalt berechnet sich wie folgt:
[mm] S=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{5}^{9}{|\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}|{dr}dt}}
[/mm]
Hierbei sind [mm] x_{r} [/mm] und [mm] x_{t} [/mm] die partiellen Ableitungen des Vektors nach der jeweiligen Variablen.
Du solltest erhalten:
[mm] \overrightarrow{x_{r}} [/mm] = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 1}
[/mm]
Von diesen beiden Vektoren musst du nun das Vektorprodukt bilden:
[mm] \overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 0} \times \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{sin(t) \\ -cos(t) \\ r}
[/mm]
Nun gilt es den Betrag des Vektorproduktes zu ermitteln:
[mm] |\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}| [/mm] = [mm] \wurzel{sin^{2}(t) + cos^{2}(t) + r^{2}} [/mm] // es gilt das Additionstheorem: [mm] sin^{2}(t) [/mm] + [mm] cos^{2}(t)=1
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}| [/mm] = [mm] \wurzel{1+r^{2}}
[/mm]
Letzendlich sieht dein Doppelintegral so aus:
[mm] S=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{5}^{9}{\wurzel{1+r^{2}}{dr}dt}}
[/mm]
Dieses Doppelintegral musst du nun noch erst nach r integrieren, die Grenzen einsetzen undberechnen und danach noch nach t integrieren, die Grenzen einsezen und berechnen und 'schon' bist du fertig.
Ich muss allerdings erwähnen, dass die Bestimmung von [mm] \integral{ \wurzel{1+r^{2}}} [/mm] sich schwieriger gestaltet als erwartet. An dieser Stelle müsstest du also nochmal grübeln, recherchieren, nachlesen etc.
Gruß,
Tommy
PS: Falls du nochmals nachlesen willst, hier eine Adresse, die die Oberflächenberechnung recht gut erklärt (mit Bildern):
http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral2.pdf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Do 24.08.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo zusammen,
[mm]S=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{5}^{9}{|\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}|{dr}dt}}[/mm]
>
> Hierbei sind [mm]x_{r}[/mm] und [mm]x_{t}[/mm] die partiellen Ableitungen des
> Vektors nach der jeweiligen Variablen.
... so geht es auch, ja.
>
> Du solltest erhalten:
> [mm]\overrightarrow{x_{r}}[/mm] = [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{x_{t}}[/mm] = [mm]\vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 1}[/mm]
>
> Von diesen beiden Vektoren musst du nun das Vektorprodukt
> bilden:
> [mm]\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}[/mm] =
> [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 0} \times \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{sin(t) \\ -cos(t) \\ r}[/mm]
>
> Nun gilt es den Betrag des Vektorproduktes zu ermitteln:
> [mm]|\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{sin^{2}(t) + cos^{2}(t) + r^{2}}[/mm] // es gilt das
> Additionstheorem: [mm]sin^{2}(t)[/mm] + [mm]cos^{2}(t)=1[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{x_{r}}\times \overrightarrow{x_{t}}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+r^{2}}[/mm]
>
> Letzendlich sieht dein Doppelintegral so aus:
>
> [mm]S=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{5}^{9}{\wurzel{1+r^{2}}{dr}dt}}[/mm]
>
> Dieses Doppelintegral musst du nun noch erst nach r
> integrieren, die Grenzen einsetzen undberechnen und danach
> noch nach t integrieren, die Grenzen einsezen und berechnen
> und 'schon' bist du fertig.
>
> Ich muss allerdings erwähnen, dass die Bestimmung von
> [mm]\integral{ \wurzel{1+r^{2}}}[/mm] sich schwieriger gestaltet als
> erwartet. An dieser Stelle müsstest du also nochmal
> grübeln, recherchieren, nachlesen etc.
dieses integral, was vor kurzem hier schonmal so ähnlich aufgetaucht ist, löst man üblicherweise mit der substitution [mm] $r=\sinh [/mm] u$ unter verwendung des hyperbolischen pythagoras [mm] $\cosh^2 [/mm] u - [mm] \sinh^2 [/mm] u=1$.
Gruß
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Do 24.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
hallo !
Ich habe die Lösung gerade erst gelesen und werde mal sofort nachrechnen ; mal schauen , ob ich klarkomme.
Jedefalls danke ich euch beiden(Matthias Krüger,VNV_Tommy) für die ausführliche Lösung!
Super lieb von euch.
LG
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