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Forum "Vektoren" - Flächeninhalt - Parallelogramm
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Flächeninhalt - Parallelogramm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mo 25.04.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
a)

Begründen Sie: Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit den Seiten [mm] u,v\in\IR^3 [/mm] und dem davon eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt

i) [mm] A=|u||v|*sin\alpha [/mm]

ii) [mm] A=|u\times{v}| [/mm]

Für die erste Identität sollte man die grundlegende Formel “Flächeninhalt = Grundseite*Höhe” benutzen. Beim Nachweis der zweiten Identität hilft die für alle [mm] x\in\IR [/mm] gültige Formel [mm] \sin^2x+\cos^2x=1. [/mm]

b)

Berechnen Sie den Flächeninahlt des von [mm] u=(\wurzel{3};\wurzel{3}\wurzel{3}) [/mm] und v=(11;-10;11) aufgespannten Parallelogramms.



a)

Es liegt foglender Parallelogramm vor:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Für den Flächeninhalt A gilt: A=Grundseite*Höhe

Die grundseite ist |u| und die Höhe ist [mm] |v|*sin\alpha [/mm]

Daraus folgt: [mm] A=|u||v|*sin\alpha [/mm]

Ich verstehe jetzt nicht wie ich die zweite identität zeigen soll. Es gilt:

[mm] A=|u\times{v}|=\wurzel{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2} [/mm]

Wie soll ich hier nun die Gleichung [mm] \sin^2x+\cos^2x=1 [/mm] anwenden?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Flächeninhalt - Parallelogramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Di 26.04.2016
Autor: Rebellismus

ich bin noch an einer antwort interessiert.

Bezug
        
Bezug
Flächeninhalt - Parallelogramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Di 26.04.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> a)

>

> Begründen Sie: Für den Flächeninhalt A eines
> Parallelogramms mit den Seiten [mm]u,v\in\IR^3[/mm] und dem davon
> eingeschlossenen Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt

>

> i) [mm]A=|u||v|*sin\alpha[/mm]

>

> ii) [mm]A=|u\times{v}|[/mm]

>

> Für die erste Identität sollte man die grundlegende
> Formel “Flächeninhalt = Grundseite*Höhe” benutzen.
> Beim Nachweis der zweiten Identität hilft die für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] gültige Formel [mm]\sin^2x+\cos^2x=1.[/mm]

>

> b)

>

> Berechnen Sie den Flächeninahlt des von
> [mm]u=(\wurzel{3};\wurzel{3}\wurzel{3})[/mm] und v=(11;-10;11)
> aufgespannten Parallelogramms.

>

> a)

>

> Es liegt foglender Parallelogramm vor:

>

> [Dateianhang nicht öffentlich]

>

> Für den Flächeninhalt A gilt: A=Grundseite*Höhe

>

> Die grundseite ist |u| und die Höhe ist [mm]|v|*sin\alpha[/mm]

>

> Daraus folgt: [mm]A=|u||v|*sin\alpha[/mm]

Das sieht gut aus.

>

> Ich verstehe jetzt nicht wie ich die zweite identität
> zeigen soll. Es gilt:

>

> [mm]A=|u\times{v}|=\wurzel{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2}[/mm]

>

> Wie soll ich hier nun die Gleichung [mm]\sin^2x+\cos^2x=1[/mm]
> anwenden?

Dazu schau mal bei []Dieter Heidorn vorbei, besser kann man das meiner Meinung nach nicht erklären.

Marius

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Flächeninhalt - Parallelogramm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Di 26.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

Ich habe eine frage zu diesem Link. Beim Spanprodukt steht:

[mm] V=|a\times{b}|*|c|*cos\alpha [/mm]

[mm] V=a\times{b}*c [/mm]

Wie kommt man von der ersten Gleichung auf die zweite?

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt - Parallelogramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Di 26.04.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo,


Das steht in Wikipedia sehr gut beschrieben.

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt#Herleitung


Lg Thomas

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Flächeninhalt - Parallelogramm: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:10 Mi 27.04.2016
Autor: Rebellismus

ich verstehe es immer noch nicht.

Da steht:

"Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors c auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel α einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

h = [mm] |\vec{c}| \cos \alpha [/mm] = [mm] \hat e_{\vec{a} \times \vec{b}} \cdot \vec{c} [/mm] "


Was ist die Projektion eines vektors? ist der vektor x und y im folgenden Bild die Projektion des vektors v?

[Dateianhang nicht öffentlich]

ich verstehe auch folgendes nicht:

".. auf richtung dieses Normalvektors"

welches Normalvektor? Was ist hier mit "dieses" gemeint



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Flächeninhalt - Parallelogramm: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 29.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Flächeninhalt - Parallelogramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 27.04.2016
Autor: chrisno


> Hallo,
>  
> Ich habe eine frage zu diesem Link. Beim Spanprodukt
> steht:
>  
> [mm]V=|a\times{b}|*|c|*cos\alpha[/mm]
>  
> [mm]V=a\times{b}*c[/mm]
>  
> Wie kommt man von der ersten Gleichung auf die zweite?

Ich ergänze die Vektorpfeile
[mm]V=|\vec{a}\times\vec{b}|*|\vec{c}|*cos\alpha[/mm]
[mm]V=\vec{a}\times\vec{b}*\vec{c}[/mm]
Das Vektorprodukt [mm] $\vec{a}\times\vec{b}$ [/mm] hat zum Ergebnis einen Vektor, den nenne ich [mm] $\vec{d}$, [/mm] also [mm] $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{d}$ [/mm]
Damit sehen die beiden Gleichungen wie folgt aus:
[mm]V=|\vec{d}|*|\vec{c}|*cos\alpha[/mm]
[mm]V=\vec{d}*\vec{c}[/mm]
Die Gleichung
[mm]\vec{d}*\vec{c}=|\vec{d}|*|\vec{c}|*cos\alpha[/mm]
gilt beim Skalarprodukt.

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Bezug
Flächeninhalt - Parallelogramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mi 27.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Der Spat werde von den Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] aufgespannt. Man kann sich Pfeile für die Vektoren am Ursprung angeheftet denken. Sie mögen auf die Punkte [mm]A,B,C[/mm] zeigen.

Die Ebene [mm]E=OAB[/mm] besitzt [mm]\vec{a} \times \vec{b}[/mm] als Normalenvektor. [mm]\left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{x}[/mm] ist eine Normalenform von [mm]E[/mm] und [mm]\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \, \vec{a} \times \vec{b} \, \right|} \cdot \vec{x}[/mm] eine Hessesche Normalenform. Der Punkt [mm]C[/mm] hat von [mm]E[/mm] daher den Abstand

[mm]h = \left| \frac{ \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|} \right| = \frac{\left| \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} \right|}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}[/mm]

[mm]G = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|[/mm] ist die Grundfläche des Spats und

[mm]V = Gh = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right| \cdot \frac{\left| \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} \right|}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|} = \left| \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} \right|[/mm]

seim Volumen.

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