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Guten Tag,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die wir im Mathematikunterricht bearbeiten. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Bei einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck befindet sich über der Seite c ein Halbkreis mit der Radiuslänge r=0,5*c.
Nun ist durch den Punkt C eine Gerade zu konstruieren, welche die Fläche der aus dem Dreieck und dem Kreis zusammengesetzten Figur halbiert.
Mein Problem ist, dass ich, da ich ja konstruieren muss, keine Längen von Dreiecksseiten abmessen oder damit rechnen kann.
Zuerst habe ich versucht, die Aufgabe über die Schwerpunkte der Einzelfiguren zu lösen, doch scheiterte ich, da man pi nicht konstruieren kann.Dabei ist mir ein Gedanke gekommen: Man kann ja den Schwerpunkt des Dreiecks konstruieren und die Strecke, die den Halbkreis halbiert und auf der dessen Schwerpunkt liegt.
Angenommen man schafft es (wie auch immer), die gesuchte Gerade zu konstruieren, dann könnte man doch eigentlich über Abmessen der Seitenlängen des Dreiecks und des Kreisradius den Schwerpunkt des Halbkreises konstruieren. In der Formel zur Schwerpunktberechnung von Halbkreisen kommt [mm] \pi [/mm] vor, das man ja somit auch konstruieren könnte. Laut Wikipedia kann man aber [mm] \pi [/mm] nicht konstruieren. Heißt das also, dass diese Aufgabe unlösbar ist oder habe ich einen Denkfehler und es gibt doch eine Möglichkeit, diese Gerade zu konstruieren? Wenn ja, wie?
Vielen Dank für eure/Ihre Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Di 14.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Asymptote, erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist eine ziemlich fiese Aufgabe und m.E. mit Mitteln der 9. Klasse nicht zu lösen, schon gar nicht konstruktiv.
Andererseits habe ich bisher überhaupt keinen Lösungsansatz, auch nicht mit anderen Mitteln.
Ich nehme an, dass es anderen Helfern hier genauso geht. Normalerweise bekommt man hier viel schneller Antwort.
Mal sehen, ob noch jemand eine zündende Idee hat.
Falls Ihr im Unterricht eine Lösung erarbeitet, wäre ich sehr daran interessiert. Eigene Zeichnungen kannst Du hier auch als Scan anhängen (oder sogar einbinden). Lösungsblätter dagegen solltest Du nicht veröffentlichen.
Tja. Viel Erfolg dann...
reverend
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Hallo Asymptote,
was heißt eigentlich konstruieren in diesem Fall?
Eine rechnerische Bestimmung ist wie folgt möglich:
Die Dreiecksseiten seien a,b,c und wie üblich gegen den Uhrzeigersinn so benannt. Für die Rechnung ist es praktisch, auch die Höhe [mm] h_c [/mm] zu kennen, die ja aus a,b,c zu ermitteln ist.
Erste Zwischenfrage: hattet Ihr schon trigonometrische Funktionen? Im Gymnasium G8 kommen die wohl in der 9.Klasse dran, aber eigentlich erst viel später im Schuljahr.
Weiter im Lösungsweg. Die gesuchte Gerade schneide die Seite c im Punkt P und den Halbkreis über c im Punkt K.
K werde mit den Punkten A und B verbunden. Das Dreieck AKB ist rechtwinklig (folgt aus dem Thaleskreis).
Nennen wir die Seite [mm] \overline{AK} [/mm] nun x und die Seite [mm] \overline{KB} [/mm] heiße y. Die Fläche des Dreiecks AKB ist dann [mm] \tfrac{1}{2}xy.
[/mm]
Nun wird das Dreieck ABC mit der Fläche [mm] \tfrac{1}{2}*c*h_c [/mm] genau im gleichen Verhältnis geteilt wie die Seite c.
Ebenso das Dreieck AKB.
Das ist nun aber noch nicht die ganze Figur. Zu berücksichtigen sind noch zwei Kreisabschnitte über den Seiten x und y.
Der über x hat die Fläche [mm] \tfrac{1}{4}cx-\tfrac{1}{8}c^2\sin{\left(\bruch{2x}{c}\right)}
[/mm]
Entsprechen hat der über y die Fläche [mm] \tfrac{1}{4}cy-\tfrac{1}{8}c^2\sin{\left(\bruch{2y}{c}\right)}
[/mm]
So, und jetzt liegt ja schon eine Menge Material vor. Einzuführen sind noch die beiden Abschnitte der Seite c, z.B. als [mm] c_x [/mm] und [mm] c_y, [/mm] sowie Zusammenhänge zwischen diesen Abschnitten und den Seiten x und y.
Vielleicht ist auch noch hilfreich, dass [mm] \sin^2\left(\bruch{x}{c}\right)+\sin^2\left(\bruch{y}{c}\right)=1 [/mm] ist, und wahrscheinlich braucht man auch noch trigonometrische Additionstheoreme.
Damit müsste aber die Aufgabe dann trotz unbekannter Seitenlängen lösbar sein, eine ziemliche Rechnerei.
Mach doch erstmal eine Skizze, dann verstehst Du auch leichter, was ich da so zusammengeschrieben habe.
Und wie man das mit Zirkel und Lineal konstruieren soll, ist mir jetzt noch viel weniger ersichtlich als vorher. Ich kann mir nicht vorstellen, dass es überhaupt geht.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 14.12.2010 | | Autor: | Asymptote |
Guten Abend,
vielen Dank für die Hilfe! Ich knoble gerade noch ein bisschen an dieser Aufgabe herum.
Trigonometrie haben wir eigentlich noch nicht besprochen, aber ich habe schon unser ganzes Mathebuch durchgelesen, in dem dieses Thema auch drinsteht (und ich glaube, unser Lehrer meint, dass der Rest der Klasse das auch gemacht hat, was aber nicht stimmt).
Eigentlich habe auch ich das mit der Konstruktion so verstanden, dass man nur Zirkel und Lineal verwenden darf. Bei dieser Aufgabe bin ich mir aber dann doch nicht ganz sicher, "wie eng unser Lehrer das sieht".
Also noch mal vielen, vielen Dank!
Viele Grüße
Asymptote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 14.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Asymptote,
ich hatte gerade noch eine Idee, welches Wissen der Mittelstufe möglicherweise noch hilfreich wäre. Es würde helfen, den Sinus (oder Cosinus) zu umgehen. Man sollte ja nie voraussetzen, dass alle schon vorausgelernt haben.
Du erinnerst Dich vielleicht noch an die ![[]](/images/popup.gif) Möndchen des Hippokrates. Wenig bekannt ist aber, dass noch mehr auszusagen ist als nur die Flächengleichheit von Möndchen und ganzem Dreieck.
Schau mal hier unter der Abbildung.
Nun ist hier ja nicht die Fläche des Möndchens bedeutsam, sondern der direkt darunter liegende Kreisabschnitt. Er ist so aber mit einer einfacheren Formel zu bestimmen (hier nur der eine, sagen wir über der Seite x), nämlich ohne Sinus:
[mm] F_{\text{Abschnitt}}=\bruch{1}{8}\pi x^2-\bruch{xy}{c}*\wurzel{x^2-\left(\bruch{xy}{c}\right)^2}
[/mm]
Naja, nach einer gemütlichen kleinen Rechnung sieht das leider auch nicht aus.
Grüße
reverend
PS: Mal ganz ehrlich, ist das vielleicht eine alte Wettbewerbsaufgabe? Ich habe sie nirgends gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Di 14.12.2010 | | Autor: | Asymptote |
Guten Abend,
was das mit der Wettbewerbsaufgabe angeht, ist das gut möglich. Zwar hat unser Lehrer nichts dergleichen erwähnt, aber er hat schon öfter Wettbewerbsaufgaben mit in den Unterricht gebracht.
Auch weiß ich nicht, ob zur Lösung nur Unterrichtsinhalte der 9.Klassen nötig sind, denn unsere Klasse ist in Mathematik einfach irregut und wir haben schon öfter Aufgaben gerechnet, die das Niveau höherer Jahrgangsstufen hatten.
Vielleicht hilft es weiter, dass wir in der letzten Stunde über Grenzwerte geredet haben? Ich denke aber eher nicht.
Die Anderen in meiner Klasse haben leider auch keine Idee, was man machen könnte.
Viele Grüße
Asymptote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Di 14.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
na dann einen Glückwunsch zu dieser Klasse und zu diesem Lehrer! Das sind ja mal erfreuliche Nachrichten. 
Hast Du meine meinen Ansatz verstanden? Kannst Du die nötigen Formeln selbst herleiten? Damit sollte eine Lösung möglich sein, wenn einem nicht die ganzen Quadrate einen Strich durch die Rechnung machen.
Wie gesagt, ich habe wenig Lust, mich selber eine Stunde lang durch eine langwierige Rechnung zu quälen, zumal ich kein CAS habe. Aber wenn es eine Lösung gibt, und zumal eine mit einem einfacheren Lösungsweg, bin ich darauf sehr gespannt.
Dann mal viel Erfolg und Freude an der Mathematik weiterhin!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Do 16.12.2010 | | Autor: | Asymptote |
Guten Tag,
vielen Dank noch einmal für die vielen Tipps.
Wir haben im Unterricht jetzt die Aufgabe bearbeitet. Und die Lösung lautet: es gibt keine Lösung.
Es ist zwar nicht bewiesen, dass es keine Lösun gibt, aber zumindest gab es noch keinen Mathematiker, der eine gefunden hat.
Viele Grüße
Asymptote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Do 16.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Asymptote,
herzlichen Dank für diese Mitteilung.
Das ist ja echt eine motivierende Aufgabe.
...und der erste Anreiz, es dann doch selbst zu versuchen.
Falls Ihr noch ein paar bekannte und unbekannte Aufgaben braucht, die nicht lösbar sind oder mit denen Ihr die Fields-Medaille (sozusagen der Nobelpreis für Mathematik) gewinnen könntet, sag Bescheid.
Zusammenfassend könnte man also sagen:
(scroll)
Hmpf.
Grüße
reverend
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