Flächenberechung Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 21.04.2012 | | Autor: | mrcp |
| Aufgabe | Aufgabenstellung
Auf einen Quader mit der Grundfläche in der
x1-x2-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden
Eckpunkten aufgesetzt: A(3 | −3 | 7) , B(3 | 3 | 7) ,
C(−3 | 3 | 7) , D(−3 | −3 | 7) und S(0 | 0 | 13)
b) (1) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.
(2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide. |
Guten Abend allerseits,
es handelt sich um eine alte Abituraufgabe von 2009, die ich als Abi-Vorbereitung berechne.
Zu meinem Problem:
1)
Für das Volumen einer Pyramide gilt laut Formelsammlung:
V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] G * H
Nun habe ich die Beträge von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] berechnet und erhalte für die Grundseite 36.
Nun möchte ich die Höhe berechnen und weiß, dass dies der Vektor von der Mitte M des Pyramidenunterbodens ABCD und der Pyramidenspitze S ist.
Soweit ich weiß gilt für M dann:
M= 0,5 [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + 0,5 [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3\\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SM} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 13} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\0} =\vektor{3 \\ -3 \\ 13}
[/mm]
Wenn ich den Vektor dann in einen Betrag umrechne erhalte ich:
[mm] |\overrightarrow{SM}| [/mm] = [mm] \wurzel{3^2+(-3)^2+(13)^2} \approx [/mm] 13,67
In den Lösungen wird die Höhe allerdings mit 6 angegeben.
Wo ist mein Fehler?
2)
Hier verwende ich das Kreuzprodukt zur Errechung des Mantelflächeninhalts, da es sich um Prinzip um ein Dreieck handelt wofür 0,5 G * H gilt.
Bei [mm] \overrightarrow{SMab} [/mm] handelt es sich um H also der Vektor von der Pyramidenspitze bis zur Mitte von [mm] \overrightarrow{AB}:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = B-A = [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SMab} [/mm] = Mab-S = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -13}
[/mm]
0,5 [mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] * [mm] |\overrightarrow{SMab}|
[/mm]
Am Ende der Rechung erhalte ich 39 für die Mantelfläche, allerdings wird in den Lösungen [mm] 9\wurzel{5} [/mm] angegeben.
In den Lösungen wird auch nicht davon gesprochen das Kreuzprodukt zu benutzen, daher meine Frage:
Ist mein Verfahren falsch und wo ist mein Fehler?
Danke im Voraus
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mrcp,
> Aufgabenstellung
> Auf einen Quader mit der Grundfläche in der
> x1-x2-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden
> Eckpunkten aufgesetzt: A(3 | −3 | 7) , B(3 | 3 | 7) ,
> C(−3 | 3 | 7) , D(−3 | −3 | 7) und S(0 | 0 | 13)
>
> b) (1) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.
> (2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der
> Pyramide.
> Guten Abend allerseits,
> es handelt sich um eine alte Abituraufgabe von 2009, die
> ich als Abi-Vorbereitung berechne.
>
> Zu meinem Problem:
>
> 1)
> Für das Volumen einer Pyramide gilt laut Formelsammlung:
> V = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] G * H
>
> Nun habe ich die Beträge von [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] berechnet und erhalte für die
> Grundseite 36.
>
> Nun möchte ich die Höhe berechnen und weiß, dass dies
> der Vektor von der Mitte M des Pyramidenunterbodens ABCD
> und der Pyramidenspitze S ist.
>
> Soweit ich weiß gilt für M dann:
> M= 0,5 [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] + 0,5 [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 3\\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{SM}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 13}[/mm] - [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\0} =\vektor{3 \\ -3 \\ 13}[/mm]
>
> Wenn ich den Vektor dann in einen Betrag umrechne erhalte
> ich:
>
> [mm]|\overrightarrow{SM}|[/mm] = [mm]\wurzel{3^2+(-3)^2+(13)^2} \approx[/mm]
> 13,67
>
> In den Lösungen wird die Höhe allerdings mit 6
> angegeben.
> Wo ist mein Fehler?
>
>
> 2)
> Hier verwende ich das Kreuzprodukt zur Errechung des
> Mantelflächeninhalts, da es sich um Prinzip um ein Dreieck
> handelt wofür 0,5 G * H gilt.
> Bei [mm]\overrightarrow{SMab}[/mm] handelt es sich um H also der
> Vektor von der Pyramidenspitze bis zur Mitte von
> [mm]\overrightarrow{AB}:[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = B-A = [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{SMab}[/mm] = Mab-S = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ -13}[/mm]
>
> 0,5 [mm]|\overrightarrow{AB}|[/mm] * [mm]|\overrightarrow{SMab}|[/mm]
>
> Am Ende der Rechung erhalte ich 39 für die Mantelfläche,
> allerdings wird in den Lösungen [mm]9\wurzel{5}[/mm] angegeben.
> In den Lösungen wird auch nicht davon gesprochen das
> Kreuzprodukt zu benutzen, daher meine Frage:
> Ist mein Verfahren falsch und wo ist mein Fehler?
>
Der Mittelpunkt M stimmt nicht.
> Danke im Voraus
> MfG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Sa 21.04.2012 | | Autor: | mrcp |
>
> Der Mittelpunkt M stimmt nicht.
>
> Gruss
> MathePower
Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch.
Ist der Mittelpunkt M für 1) und 2) falsch ?
Liegt ein Rechenfehler vor oder sind meine Formeln zur Errechung der Mittelpunkte falsch?
Danke im Voraus
MfG
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Hallo mrcp,
> >
> > Der Mittelpunkt M stimmt nicht.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch.
> Ist der Mittelpunkt M für 1) und 2) falsch ?
Ja.
> Liegt ein Rechenfehler vor oder sind meine Formeln zur
> Errechung der Mittelpunkte falsch?
>
Die Formeln zur Errechnung der Mittelpunkte sind falsch.
> Danke im Voraus
> MfG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 21.04.2012 | | Autor: | mrcp |
Bei 2) habe ich jetzt für M [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 7} [/mm] raus.
Statt B von A zu subtrahieren um den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] zu erhalten, habe ich nun A mit B addiert.
Nun erhalte ich das richtige Ergebnisse für 2) allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wieso man hier die Punkte addieren muss um den Vektor zu erhalten. Wäre klasse wenn mir jemand versuchen könnte das zu erklären.
Bei 1) allerdings komme ich nicht weiter.
Für den Mittelpunkt habe ich nun [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 14} [/mm] raus, nachdem ich A und B bzw. B und C addiert habe, um die jeweiligen Vektoren zu erhalten.
Gibt es eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt eines Quadrats oder muss ich erst aus A und C bzw. D und B 2 Geradengleichungen aufstellen und diese gleichsetzen um den Mittelpunkt zu erhalten?
Danke im Voraus
MfG
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Hallo mrcp,
> Bei 2) habe ich jetzt für M [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 7}[/mm] raus.
Bei 2) benötigst Du Doch die Seitenflächen der Pyramide.
> Statt B von A zu subtrahieren um den Vektor
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] zu erhalten, habe ich nun A mit B
> addiert.
> Nun erhalte ich das richtige Ergebnisse für 2) allerdings
> ist mir noch nicht ganz klar, wieso man hier die Punkte
> addieren muss um den Vektor zu erhalten. Wäre klasse wenn
> mir jemand versuchen könnte das zu erklären.
>
> Bei 1) allerdings komme ich nicht weiter.
> Für den Mittelpunkt habe ich nun [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 14}[/mm]
Nein, das stimmt wieder nicht.
Die Punkte A,B,C,D liegen doch symmetrisch.
> raus, nachdem ich A und B bzw. B und C addiert habe, um die
> jeweiligen Vektoren zu erhalten.
> Gibt es eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt eines
> Quadrats oder muss ich erst aus A und C bzw. D und B 2
> Geradengleichungen aufstellen und diese gleichsetzen um den
> Mittelpunkt zu erhalten?
>
Bei einem Quadrat ist der Mittelpunkt der Schnittpunkt von den Diagonalen.
> Danke im Voraus
> MfG
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Sa 21.04.2012 | | Autor: | chrisno |
> Bei 2) habe ich jetzt für M [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 7}[/mm] raus.
> Statt B von A zu subtrahieren um den Vektor
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] zu erhalten, habe ich nun A mit zu B
> addiert.
Und danach durch 2 dividiert.
> Nun erhalte ich das richtige Ergebnisse für 2) allerdings
> ist mir noch nicht ganz klar, wieso man hier die Punkte
> addieren muss um den Vektor zu erhalten. Wäre klasse wenn
> mir jemand versuchen könnte das zu erklären.
>
> Bei 1) allerdings komme ich nicht weiter.
> Für den Mittelpunkt habe ich nun [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 14}[/mm]
> raus, nachdem ich A und B bzw. B und C addiert habe, um die
> jeweiligen Vektoren zu erhalten.
> Gibt es eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt eines
> Quadrats oder muss ich erst aus A und C bzw. D und B 2
> Geradengleichungen aufstellen und diese gleichsetzen um den
> Mittelpunkt zu erhalten?
Du kannst alle vier Ortsvektoren addieren und dann das Ergebnis durch 4 teilen.
Es geht aber wirklich einfacher. Schau auf die Symmetrie, dann liest man die Höhe 6 einfach direkt aus den Koordinaten ab.
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> Aufgabenstellung
> Auf einen Quader mit der Grundfläche in der
> x1-x2-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden
> Eckpunkten aufgesetzt: A(3 | −3 | 7) , B(3 | 3 | 7) ,
> C(−3 | 3 | 7) , D(−3 | −3 | 7) und S(0 | 0 | 13)
>
> b) (1) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.
> (2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der
> Pyramide.
> Guten Abend allerseits,
> es handelt sich um eine alte Abituraufgabe von 2009, die
> ich als Abi-Vorbereitung berechne.
>
> Zu meinem Problem:
>
> 1)
> Für das Volumen einer Pyramide gilt laut Formelsammlung:
> V = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] G * H
>
> Nun habe ich die Beträge von [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] berechnet und erhalte für die
> Grundseite 36.
>
> Nun möchte ich die Höhe berechnen und weiß, dass dies
> der Vektor von der Mitte M des Pyramidenunterbodens ABCD
> und der Pyramidenspitze S ist.
>
> Soweit ich weiß gilt für M dann:
> M= 0,5 [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] + 0,5 [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 3\\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{SM}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 13}[/mm] - [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\0} =\vektor{3 \\ -3 \\ 13}[/mm]
>
> Wenn ich den Vektor dann in einen Betrag umrechne erhalte
> ich:
>
> [mm]|\overrightarrow{SM}|[/mm] = [mm]\wurzel{3^2+(-3)^2+(13)^2} \approx[/mm]
> 13,67
>
> In den Lösungen wird die Höhe allerdings mit 6
> angegeben.
> Wo ist mein Fehler?
>
>
> 2)
> Hier verwende ich das Kreuzprodukt zur Errechung des
> Mantelflächeninhalts, da es sich um Prinzip um ein Dreieck
> handelt wofür 0,5 G * H gilt.
> Bei [mm]\overrightarrow{SMab}[/mm] handelt es sich um H also der
> Vektor von der Pyramidenspitze bis zur Mitte von
> [mm]\overrightarrow{AB}:[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = B-A = [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{SMab}[/mm] = Mab-S = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ -13}[/mm]
>
> 0,5 [mm]|\overrightarrow{AB}|[/mm] * [mm]|\overrightarrow{SMab}|[/mm]
>
> Am Ende der Rechung erhalte ich 39 für die Mantelfläche,
> allerdings wird in den Lösungen [mm]9\wurzel{5}[/mm] angegeben.
> In den Lösungen wird auch nicht davon gesprochen das
> Kreuzprodukt zu benutzen, daher meine Frage:
> Ist mein Verfahren falsch und wo ist mein Fehler?
>
> Danke im Voraus
> MfG
Hallo mrcp,
es würde sich sehr lohnen, sich die Lage der Pyramide
im Raum anschaulich zu vergegenwärtigen, zum Beispiel
mittels eines Schrägbildes. Mit etwas Vorstellungskraft
kann man sich sogar dieses praktisch sparen; aber um die
Idee zur Lösung auch zu dokumentieren, ist es sinnvoll,
den Lösungsweg mit einer solchen Zeichnung zu beginnen.
Das Grundquadrat der Pyramide liegt in der zur x-y-Ebene
parallelen Ebene mit der Gleichung z=7. Die Eckpunkte
A,B,C,D bilden ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M(0/0/7)
und der Seitenlänge a=6. Die Pyramidenspitze S(0/0/13)
liegt auf der z-Achse, 6 Einheiten über M und über der
Grundfläche der Pyramide - also ist eben die Pyramidenhöhe
gleich 6.
Alles Weitere kann man dann anstatt mit Vektorgeometrie
auch mit elementarer Geometrie (Pythagoras etc.) berechnen.
Man könnte allenfalls auch die gesamte Pyramide auf die
x-y-Ebene stellen, indem man von den z-Koordinaten aller
Punkte (A,B,C,D,S) jeweils 7 subtrahiert.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 So 22.04.2012 | | Autor: | mrcp |
Vielen Dank, manchmal macht man es sich unnötig kompliziert ohne es zu merken.
Ich habe jetzt mit elementarer Geometrie alles richtig berechnet.
Abituraufgaben sind scheinbar einfacher als gedacht.
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