Fläche zwischen f und 1.Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 25.11.2010 | | Autor: | allamaja |
| Aufgabe | Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von f und der 1. Achse
a) [mm] f(x)=-x^5+x^3 [/mm] |
Hallo,
komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Wir haben grade Stammfunktionen durchgenommen und in dem Zusammenhang diese Formel: [mm] \integral_{a}^{b}f=F(b)-F(a)
[/mm]
Nun sollen wir mithilfe der Formel die obige Aufgabe berechnen, aber ich verstehe grade nicht wie..
[mm] \integral_{a}^{b}{-x^5+x^3 dx}
[/mm]
müsste es ja sein, aber ich kann nicht sagen welche Grenzen, müsste ich dafür die Nullstellen ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo
> Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von f und der 1.
> Achse
>
> a) [mm]f(x)=-x^5+x^3[/mm]
> Hallo,
>
> komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Wir haben
> grade Stammfunktionen durchgenommen und in dem Zusammenhang
> diese Formel: [mm]\integral_{a}^{b}f=F(b)-F(a)[/mm]
>
> Nun sollen wir mithilfe der Formel die obige Aufgabe
> berechnen, aber ich verstehe grade nicht wie..
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{-x^5+x^3 dx}[/mm]
> müsste es ja sein, aber
> ich kann nicht sagen welche Grenzen, müsste ich dafür die
> Nullstellen ausrechnen?
So siehts aus, du musst die Nullstellen berechnen, also f(x)=0, dann bekommst du deine Grenzen.. vielleicht kannst du es dir auch mal skizzieren, hilft bei solchen Aufgaben ungemein.
Viele Grüße
Kayle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 25.11.2010 | | Autor: | allamaja |
Okay, den Graphen hab ich jetzt gezeichnet (bzw. plotten lassen :p)
Nullstellen habe ich jetzt auch ausgerechnet, befinden sich nach meiner Rechnung bei 1, -1 und 0
Dann hab ich also:
[mm] \integral_{1}^{b}{(-x^5+x^3) dx}
[/mm]
Wo ist aber die obere Grenze? Denn, wenn ich mir die Funktion anschaue geht sie ins unendliche, oder irre ich mich?
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Hallo, die Nullstellen sind ok, berechne
[mm] |\integral_{-1}^{0}{-x^{5}+x^{3} dx}|+|\integral_{0}^{1}{-x^{5}+x^{3} dx}|
[/mm]
durch die Symmetrie kannst du dir die Rechnung vereinfachen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
noch eine kleine Anmerkung zu Steffis korrekter Aussage :)
Auf deine Frage: Wo ist aber die obere Grenze? Denn, wenn ich mir die Funktion anschaue geht sie ins unendliche, oder irre ich mich?
Klar hast du Recht damit. Aber du sollst ja die Fläche zwischen Graph und X-Achse nehmen, das bedeutet, die Fläche die von f(x) und x-Achse komplett eingeschlossen wird. Darum auch zeichnen :) da sieht man immer sehr gut, was eigentlich gesucht ist!
Schönen Abend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 25.11.2010 | | Autor: | allamaja |
Vielen Dank an Kayle und Steffi, jetzt versteh ich alles, hatte grade die Gleichung falsch in den plotter gegeben, hab [mm] x^5+x^3 [/mm] eingegeben, da würden die beiden richtung unendlich verlaufen. Naja, alles geklärt :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Fr 26.11.2010 | | Autor: | allamaja |
So, ich habe das jetzt alles ausgerechnet, die Stammfunktion wäre dann [mm] F(x)=-\bruch{1}{6}x^6+\bruch{1}{4}x^4
[/mm]
Wenn ich dann die Grenzen einsetze, dann kommt aber
[mm] (-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4}) [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{4})=0
[/mm]
raus, aber der Flächeninhalt kann ja nicht 0 sein, oder muss ich in dem Falle + rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was hat Steffi geschrieben:
$ [mm] |\integral_{-1}^{0}{-x^{5}+x^{3} dx}|+|\integral_{0}^{1}{-x^{5}+x^{3} dx}| [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 26.11.2010 | | Autor: | allamaja |
Ah, alles klar, hab das jetzt alles einzeln ausgerechnet, so wie steffi das auch geschrieben hat, dann kommen bei mir [mm] \bruch{1}{12} [/mm] raus.
Ich habe das falsch gerechnet, weil ich die beiden Integrale nach der additiven Regel zusammengefasst habe, dass ich also einen Integral mit den Grenzen -1 bis 1 hatte. Wieso kann ich das nicht so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Fr 26.11.2010 | | Autor: | glie |
Hallo,
wenn du das
[mm] $\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}$ [/mm]
berechnest, dann erhältst du die FlächenBILANZ für den Graphen von f im Intervall [-1;1], das heisst, dass oberhalb der x-Achse liegende Flächenstücke mit positivem Vorzeichen in die Rechnung eingehen, unterhalb der x-Achse liegende Flächenstücke mit negativem Vorzeichen.
Wenn du dir mal deinen Graphen anschaust, dann wirst du feststellen, dass er punktsymmetrisch zum Ursprung ist, und dass sich daher das negativ gewertete Flächenstück und das positiv gewertete Flächenstück gegenseitig "aufheben". Genau deswegen bekommst du ja Null heraus.
Wenn du aber den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen möchtest, dann musst du dein Intgral aufteilen und so berechnen, wie es Steffi aufgeschrieben hat, nämlich mit Absolutbetrag (zumindest für den negativen Teil).
Oder du nutzt die Symmetrie aus und berechnest
$A=2 [mm] \cdot |\integral_{0}^{1}{f(x) dx|}$
[/mm]
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 26.11.2010 | | Autor: | glie |
Und vor allem:
WARUM hat Steffi das so geschrieben?
Und was berechnet man eigentlich, wenn man einfach
[mm] $\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}$
[/mm]
berechnet?
Und warum kommt da Null heraus? Und was sagt einem diese Null?
Ist ja nicht falsch, ist halt nur nicht der gesuchte Flächeninhalt.
Gruß Glie
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Hallo,
die funktion ist punktsymmetrisch zum ursprung. integrierst du also ueber einem symmetrischen intervall um den ursprung, hier [1,1], dann hast du logischerweise einen teil der flaeche unterhalb und einen teil der flaeche oberhalb der x-achse. da die funktion ounktsymmetrisch ist, sind die flaecheninhalte gleich, haben aber entgegengesetzte vorzeichen, daher heben sie sich gegenseitig auf.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Fr 26.11.2010 | | Autor: | allamaja |
Okay, jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank :)
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