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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 03.10.2006 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fläche zwischen Graph, Tangente und x-Achse.
f(x) = [mm] (x-2)^4
[/mm]
Schnittpunkt der Tangente P (0;16) |
Hey Leute...
also diese Aufgabe überfordert mich irgendwie ein wenig...
ich habe zwar Ansätze, aber irgendwo muss mir da ein fehler unterlaufen sein, den ich selbst nicht finde...
Ich schreibe mal auf, was ich bisher habe...
Als erstes habe ich versucht, die Gleichung der Tangente zu ermitteln.
g(x) = mx + b
m = f´(x) = [mm] 4(x-2)^3
[/mm]
f´(0) = -32
g(x) = -32x + b
16 = b
g(x) = -32x + 16
Ich hoffe das stimmt soweit?!
Nächster Schritt: Nullstellen bestimmen
g(x) = 0 => x = 0,5
f(x) = 0 => x= 2
Und jetzt sollten wir das Ganz enach zwei unterschiedlichen Varianten lösen...
Variante 1
-----------
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm] = [mm] 1/5(x-2)^5-(-64x^2 [/mm] + 16x)
= 230,4 Flächeneinheiten (FE)
Variante 2
-----------
f(x) - g(x) = [mm] (x-2)^4 [/mm] + 32x - 16 = p(x)
[mm] \integral_{0}^{2}{p(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{0,5}{g(x) dx} [/mm] =
[mm] 1/5(x-2)^5 [/mm] + [mm] 64x^2 [/mm] - 16x - [mm] -64x^2 [/mm] + 16x =
225,6 FE
Also irgendwie kann das nicht stimmen, weil ja eigentlich bei beiden Varianten das selbe Ergebnis rauskommen muss...
I need some help =)
Danke im Voraus
Amy
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Hi, Amy,
> Bestimmen Sie die Fläche zwischen Graph, Tangente und
> x-Achse.
>
> f(x) = [mm](x-2)^4[/mm]
> Schnittpunkt der Tangente P (0;16)
Mit "Schnittpunkt" ist vermutlich der Punkt gemeint, in dem die Tangente den Graphen berührt, stimmt's?
> Ich schreibe mal auf, was ich bisher habe...
>
> Als erstes habe ich versucht, die Gleichung der Tangente zu
> ermitteln.
>
> g(x) = mx + b
> m = f´(x) = [mm]4(x-2)^3[/mm]
>
> f´(0) = -32
>
> g(x) = -32x + b
> 16 = b
>
> g(x) = -32x + 16
>
> Ich hoffe das stimmt soweit?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nächster Schritt: Nullstellen bestimmen
>
> g(x) = 0 => x = 0,5
> f(x) = 0 => x= 2
> Und jetzt sollten wir das Ganze nach zwei unterschiedlichen
> Varianten lösen...
>
> Variante 1
> -----------
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx}[/mm] = [mm]1/5(x-2)^5-(-64x^2[/mm] + 16x) = 230,4 Flächeneinheiten (FE)
Das stimmt natürlich nicht! Da die x-Achse als Begrenzungslinie auftritt, musst Du die Integration bei x=0,5 unterbrechen und so rechnen:
[mm] \integral_{0}^{\red{0,5}}{f(x)-g(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\red{0,5}}^2 [/mm] f(x)dx.
(Übrigens hast Du zusätzlich die Stammfunktion von g falsch berechnet!)
> Variante 2
> -----------
>
> f(x) - g(x) = [mm](x-2)^4[/mm] + 32x - 16 = p(x)
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{p(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{0,5}{g(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]1/5(x-2)^5[/mm] + [mm]64x^2[/mm] - 16x - [mm]-64x^2[/mm] + 16x =
> 225,6 FE
>
> Also irgendwie kann das nicht stimmen, weil ja eigentlich
> bei beiden Varianten dasselbe Ergebnis rauskommen muss...
Und vor allem NICHT GAR SO GROSSE WERTE!
Auch Deine 2. Variante stimmt nicht!
Wenn Du Dir die Situantion mal skizzierst
(der Graph von f sieht wie eine gestauchte Parabel aus mit Scheitel S(2 / 0), die die y-Achse bei y=16 schneidet.
In diesem Punkt P(0 / 16) wird auch die Tangente gezeichnet),
dann erkennst Du, dass die Fläche zwischen der Tangente und den beiden Koordinatenachsen ein schmales Dreieck (Breite 0,5 und Höhe 16, also Fläche: 4) ergibt.
Folglich kannst Du zunächst die Fläche unter dem Graphen von f zwischen 0 und 2 ausrechnen und anschließend dieses Dreieck subtrahieren:
[mm] \integral_{0}^{2}{(x-2)^{4} dx} [/mm] - 4 = ...
mfG!
Zwerglein
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