Fläche soll max. werden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
| Aufgabe | Auf einem dreieckigen Grundstück soll eine rechteckige Lagerhalle gebaut werden. Bestimmen Sie die größtmögliche Fläche der Halle, wenn diese
a) bis zur Grundstücksgrenze reichen darf
b) 3m Abstand zur Grenze haben muss. |
Die Frage wurde sonst nirgends gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme mit der Aufgabe.
Hier eine Skizze, wie die Halle auf dem Grundstück liegen soll:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hauptbedingung ist A = x*y <-- soll maximal werden
Bei der Nebenbedingung tue ich mich schwer. Bei vielen ganz ähnlichen Aufgaben im Internet wurde als Hinweis Strahlensatz gegeben. Da die Halle allerdings so blöd aufm Grundstück liegt, finde ich bei diesem Fall keine Lösung mit dem Strahlensatz.
Was ist meine Nebenbedingung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 11.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Auf einem dreieckigen Grundstück soll eine rechteckige
> Lagerhalle gebaut werden. Bestimmen Sie die größtmögliche
> Fläche der Halle, wenn diese
> a) bis zur Grundstücksgrenze reichen darf
> b) 3m Abstand zur Grenze haben muss.
> Die Frage wurde sonst nirgends gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit der Aufgabe.
> Hier eine Skizze, wie die Halle auf dem Grundstück liegen
> soll:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hauptbedingung ist A = x*y <-- soll maximal werden
>
> Bei der Nebenbedingung tue ich mich schwer. Bei vielen ganz
> ähnlichen Aufgaben im Internet wurde als Hinweis
> Strahlensatz gegeben. Da die Halle allerdings so blöd aufm
> Grundstück liegt, finde ich bei diesem Fall keine Lösung
> mit dem Strahlensatz.
Aber die abgetrennten Dreiecke sind alle zum Ausgangsdreieck ähnlich, das Seitenverhältnis ist jeweils 3:4:5.
Bezeichne am besten den linken Teil der unteren Strecke mit x, der rechte Teil ist dann 80-x. Die kürzere Lagerhallenseite ist dann (im Dreieck unten links) 3/5 von (80-x) , und die längere Lagerhallenseite ist (im Dreieck unten rechts) 5/4 von x.
Gruß Abakus
>
> Was ist meine Nebenbedingung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hm, verstehe ich nicht.
Dann habe ich ja noch eine Variable mehr.
Denn dein x (ich nenne es z, weil x und y die lagerhallenseiten sind) ist ja eine völlig neue Variable.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann habe ich ja:
x=5/4z
y=3/5(80-z)
Hast du das so gemeint?
Wie gehts dann weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
jetzt können wir also festhalten
[mm] x=\bruch{5}{4}z
[/mm]
[mm] y=\bruch{3}{5}(80-z)
[/mm]
somit gilt für dein Rechteck
A(x,y)=x*y
[mm] A(z)=\bruch{5}{4}z*\bruch{3}{5}(80-z)
[/mm]
nach einer Extremwertbetrachtung bekommst du z=40m
aus der Ähnlichkeit folgt dann x=...m und y=...m
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
Alles klar, ich denke, ich habe was sinnvolles raus.
Aber x und y müssen doch nicht berechnet werden, da A(z) doch bereits den gesuchten Inhalt angibt, oder?
Die b) wollte ich folgendermaßen lösen:
Ich zeichne in das Dreiecksgrundstück ein zweites, kleineres Dreieck und rechne die ganze Rechnung anstatt mit 60-80-100 dann mit den Seitenlängen des neuen Dreiecks. Leider bekomme ich aufgrund der Schrägen nicht die Längen des neuen Dreiecks raus. Pytagoras funktioniert irgendwie nicht. Hat da auch jmd eine Idee? Oder vllt sogar eine bessere als das Dreieck zu "schrumpfen"?
Ich habe in einem anderen Thread folgende Skizze gefunden:
https://matheraum.de/uploads/forum/00348549/forum-i00348549-n001.png
AL und EH sind ja gesucht, aber wie komme ich darauf?
In den Dreiecken ALE und EHJ habe ich ja jeweils nur eine Seite gegeben (die mit Länge 3). Die beiden Strecken AE und EJ sind ja ebenfalls nicht gegeben, oder?
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> Alles klar, ich denke, ich habe was sinnvolles raus.
> Aber x und y müssen doch nicht berechnet werden, da A(z)
> doch bereits den gesuchten Inhalt angibt, oder?
Es gehört doch wohl zur Lösung, dass man auch
die Ausmasse der Halle angibt. Kostet ja nicht viel
zusätzlichen Aufwand ...
> Die b) wollte ich folgendermaßen lösen:
> Ich zeichne in das Dreiecksgrundstück ein zweites,
> kleineres Dreieck und rechne die ganze Rechnung anstatt mit
> 60-80-100 dann mit den Seitenlängen des neuen Dreiecks.
> Leider bekomme ich aufgrund der Schrägen nicht die Längen
> des neuen Dreiecks raus. Pytagoras funktioniert irgendwie
> nicht. Hat da auch jmd eine Idee? Oder vllt sogar eine
> bessere als das Dreieck zu "schrumpfen"?
>
> Ich habe in einem anderen Thread folgende Skizze gefunden:
>
> https://matheraum.de/uploads/forum/00348549/forum-i00348549-n001.png
>
> AL und EH sind ja gesucht, aber wie komme ich darauf?
> In den Dreiecken ALE und EHJ habe ich ja jeweils nur eine
> Seite gegeben (die mit Länge 3). Die beiden Strecken AE und
> EJ sind ja ebenfalls nicht gegeben, oder?
Diese Dreiecke haben ebenfalls die Seitenverhältnisse 3:4:5 !
Jeweils eine der Seiten ist 3, also kann man die anderen leicht
berechnen.
Die Extremwertaufgabe mit dem Rechteck im "geschrumpften"
Dreieck HKI musst du übrigens nicht mehr durchführen, denn
es ist offensichtlich, dass die Lösung proportional zur Lösung
im grossen Dreieck ABC ist. Die Seitenlängen des kleineren
Rechtecks verhalten sich zu jenen des grösseren so wie die
Seitenlängen des Dreiecks HKI zu jenen des Dreiecks ABC.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
> es ist offensichtlich, dass die Lösung proportional zur Lösung im grossen Dreieck ABC ist.
Muss ich das noch irgendwie weiter begründen oder reicht das wenn man sagt "Ist halt so"?
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Hallo, die Begründung über die Ähnlichkeit ist ausreichend, viel wichtiger, dir fehllen bis jetzt aber beide Endergebnisse, der Flächeninhalt der Halle im "großen" Dreieck und der Flächeninhalt der Halle im "geschrumpften" Dreieck,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
> dir fehllen bis jetzt aber beide Endergebnisse, der Flächeninhalt der Halle im "großen" Dreieck und der Flächeninhalt der Halle im "geschrumpften" Dreieck
Doch, die habe ich bereits ausgerechnet:
[mm] A_{Halle, gross}=1200m^{2}
[/mm]
[mm] A_{Halle, geschrumpft}=867m^{2}
[/mm]
Stimmen sie? :)
Dann ist die Aufgabe wohl fertig. Vielen Dank!
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Hallo, jetzt hast du korrekte Endergebnisse, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
Bestens. :)
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