Fläche gleich bei partieller I < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 25.01.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Stammfunktionen
- f(x)= [mm] \bruch{4x+1}{x^2-6x+9}
[/mm]
- g(x)= [mm] \bruch{e^4x+e^x}{e^4x+e^2x} [/mm] |
Guten Tag, Leute!
Um die Stammfunktion zu berechnen, habe ich die Funktion in einen partiellen Bruch zerlegt. Nur ich bin mir nicht sicher bei der Vorgehensweise:
f(x)= [mm] \bruch{4x+1}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-3)} [/mm] da bei x=3 sich eine Nst. befindet. Dann habe ich den Bruch mit (x-3) erweitert. Es kommt raus
4x+1=A(x-3)
Dann hab ich für x=3 eingesetzt und für A= -13/2 rausbekommen.
Also müsste die Funktion so lauten:
[mm] \bruch{4x+1}{x^2-6x+9} [/mm] = - [mm] \bruch{13}{2(x-3)}
[/mm]
Ist das richtig?
Bei der nächsten Aufgabe bin ich mir auch net sicher.
Ich habe dann ein [mm] e^x [/mm] rausgekürzt und dann wollte ich die Substitution anwenden:
[mm] \bruch{e^3x+1}{e^3x+e^x}
[/mm]
Substitution: [mm] e^x=z
[/mm]
g(x)= [mm] \bruch{z^3+1}{z^3+z} [/mm] Nur wie komme ich da weiter? Muss ich hier auch den Bruch in eine Partialbruchsumme umwandeln?
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Das kann so nicht stimmnen ... das solltest Du doch auch schnell mittels Einsetzen einsehen.
Die  Partialbruchzerlegung muss lauten:
[mm] $$\bruch{4x+1}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x+1}{(x-3)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Danke für Deine Hinweise, Loddar! Ich hatte tatsächlich etwas übersehen...Schande über mich!
Meine Partialbruchzerlegung sieht nun so aus:
[mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-3)^2}
[/mm]
Jetzt habe ich die Gleichung mit [mm] (x-3)^2 [/mm] multipliziert, heruasgekommen ist:
4x+1= A(x-3)+B
4x+1= Ax-3A+B
Nun habe ich für x=3 eingesetzt und habe für B=13 herausbekommen. Nun wusste ich nicht, was ich tun musste, um A herauszubekommen. Ich weiß nicht, wie der Koeffizientenvergleich aussieht?!
Ich beobachte überall, dass viele für x=0 einsetzen...woher die null?
Ich würde dann für A=4 herausbekommen und meine Partialbruchzerlegung würde dann wie folgt aussehen:
f(x)= [mm] \bruch{4}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{13}{(x-3)^2}
[/mm]
Ist das richtig?
Kann jemand auch auch meine 2. Aufgabe eine Antwort geben, wie ich da vorzugehen habe?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für Deine Hinweise, Loddar! Ich hatte tatsächlich
> etwas übersehen...Schande über mich!
>
> Meine Partialbruchzerlegung sieht nun so aus:
>
> [mm]\bruch{A}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x-3)^2}[/mm]
>
> Jetzt habe ich die Gleichung mit [mm](x-3)^2[/mm] multipliziert,
> heruasgekommen ist:
>
> 4x+1= A(x-3)+B
> 4x+1= Ax-3A+B
>
> Nun habe ich für x=3 eingesetzt und habe für B=13
> herausbekommen. Nun wusste ich nicht, was ich tun musste,
> um A herauszubekommen. Ich weiß nicht, wie der
> Koeffizientenvergleich aussieht?!
> Ich beobachte überall, dass viele für x=0
> einsetzen...woher die null?
> Ich würde dann für A=4 herausbekommen und meine
> Partialbruchzerlegung würde dann wie folgt aussehen:
>
> f(x)= [mm]\bruch{4}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{13}{(x-3)^2}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja
>
> Kann jemand auch auch meine 2. Aufgabe eine Antwort geben,
> wie ich da vorzugehen habe?!
Weiter mit Polynomdivision und dann Partialbruchzerlegung.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Newbie89 |
> > Ich weiß nicht, wie der
> > Koeffizientenvergleich aussieht?!
> > Ich beobachte überall, dass viele für x=0
> > einsetzen...woher die null?
Kannst Du mir auch diese Frage beantworten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Dein Ansatz war
f(x) = $ [mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{(x-3)^2} [/mm] $ (*)
und Du mußt A und B bestimmen. Da (*) für alle x [mm] \not= [/mm] 3 gilt, kannst Du für x 2 spezielle Werte einsetzen und Du bekommst 2 Gleichungen für A und B
Natürlich solltest Du die 2 Werte für geschickt (!) wählen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Ahaaaaa- danke! Aber ich habe für x=3 eingesetzt und dadurch B herausbekommen, obwohl Du sagtest, dass ich alle Werte außer x=3 einsetzen darf?! Steh ich hier auffem Schlauch oder reden wir einander vorbei?
Trotzdem Danke, dass du mir hilfst!
Bei der zweiten Aufgabe habe ich die Polynomdivision angewendet und ich habe dann das Integrationszeichen rangepackt. Nur wie integriere ich jetzt?
F(x) = x + [mm] \integral {\bruch{1-z}{z^3+z} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ahaaaaa- danke! Aber ich habe für x=3 eingesetzt und
> dadurch B herausbekommen, obwohl Du sagtest, dass ich alle
> Werte außer x=3 einsetzen darf?! Steh ich hier auffem
> Schlauch oder reden wir einander vorbei?
Das kannst Du machen, wenn Du vorher alles mit [mm] (x-3)^2 [/mm] durchmultiplizierst
> Trotzdem Danke, dass du mir hilfst!
>
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich die Polynomdivision
> angewendet und ich habe dann das Integrationszeichen
> rangepackt. Nur wie integriere ich jetzt?
>
> F(x) = x + [mm]\integral {\bruch{1-z}{z^3+z} dx}[/mm]
mache zuerst für
[mm] \bruch{1-z}{z^3+z}
[/mm]
Partialbruchterlegung
FRED
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