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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Inhalt der von den Funktionen f(x)= (x²-4x+3)*(x+2) und g(x)=x³+6 vollständig eingeschlossenen Fläche! |
Hallo.
Ich weiß nicht wie ich das machen soll. Trotzdem habe ich schonmal die Nullstellen ausgerechnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann mir jemand helfen?
Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
also so wie ich das sehe sind das ja nicht die Nullstellen der Funktionen f(x) und g(x), sondern deren Schnittpunkte. Das ist auch der richtige Weg.
Eine verhältnismäßig unkomplizierte Methode, den von zwei Funktionen eingeschlossenen Flächeninhalt zu berechnen, ist die Differenzfunktion:
d(x)=f(x)-g(x)
Die nullstellen dieser Funktion sind die Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x), also [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=-2,5
[/mm]
Jetzt musst du nur noch den Flächeninhalt A berechnen, den die Funktion d(x) mit der x-Achse einschließt:
[mm] A=|\integral_{-2,5}^{0}{d(x) dx}|
[/mm]
Viele Grüße,
Patrick
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Ich hab jetzt d(x)= -2x²-5x+12 und die beiden x-Werte von den Schnittpunkten. Was genau muss ich damit machen? Das mit Ober-und Untersumme ist leider schon etwas her, ich weiß nicht mehr wie das geht.
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Hallo Andreas,
ich bekomme für [mm] d(x)=f(x)-g(x)=-2x^2-5x [/mm] raus - einer von uns hat irgendwo einen VZ-Fehler ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nun berechne - wie Patrick gesagt hat - das bestimmte Integral
[mm] \left|\integral_{-2,5}^{0}{d(x) dx}\right|=\left|\integral_{-2,5}^{0}{(-2x^2-5x) dx}\right|
[/mm]
Du brauchst hierzu keine Ober- und Untersummen, das kannste mit den bekannten Integrationsregeln (Summen- und Potenzregel) verarzten.
Gruß
schachuzipus
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hm. also den Vorzeichenfehler habe ich entdeckt. Aber ich weiß echt nicht mehr wie man so etwas rechnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Andreas,
bevor du die Grenzen einsetzt, musst du die Funktion integrieren, also eine Stammfunktion zu [mm] f(x)=-2x^2-5x [/mm] bestimmen.
Das geht mit der Potenz- und Summenregel:
Potenzregel: Ist [mm] g(x)=x^n, [/mm] so ist [mm] \integral_a^b{x^ndx}=\left[\bruch{1}{n+1}x^{n+1}\right]_a^b [/mm] für alle [mm] n\ne-1
[/mm]
Summenregel: [mm] \integral_a^b{(g(x)+h(x))dx}=\integral_a^b{g(x)dx}+\integral_a^b{h(x)dx}
[/mm]
Außerdem kannst du verwenden, dass [mm] \integral_a^b{k\cdot{}g(x)dx}=k\cdot{}\integral_a^b{g(x)dx} [/mm] gilt
Die Grenzen setzt du mit der Regel [mm] \integral_a^b{g(x)}=G(b)-G(a) [/mm] , wobei G(x) eine Stammfunktion zu g(x) ist.
Kommst du mit diesen Tipps weiter?
Gruß
schachuzipus
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Ich habe das mit den Grenzen mal so gemacht. Ist das richtig? Wie geht es nun weiter?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Dank!
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Wir wollten doch die Differenzfunktion $d(x) \ = \ f(x)-g(x) \ = \ [mm] -2x^2-5x [/mm] $ integrieren:
$ [mm] \left| \ \integral_{-2.5}^{0}{d(x) dx} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2.5}^{0}{ -2x^2-5x \ dx} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ -\bruch{2}{3}x^3+\bruch{5}{2}x^2 \ \right]_{-2.5}^{0} [/mm] \ = \ ...$
Und nun die Grenzen einsetzen ...
Gruß
Loddar
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Da bekomm ich einmal raus: 0 und ca. 26,04
Bin ich jetzt fertig?
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Hallo Andy,
zuerst einmal hat sich Loddar wohl vertippt, da muss ein [mm] \red{-} [/mm] stehen bei der Stammfunktion
Hier [mm] \left[ \ -\bruch{2}{3}x^3\red{-}\bruch{5}{2}x^2 \ \right]_{-2.5}^{0} [/mm] die Grenzen eingesetzt ergibt
[mm] -\bruch{2}{3}\cdot{}\red{0^3}-\bruch{5}{2}\cdot{}\red{0^2}-\left[-\bruch{2}{3}\cdot{}\red{-2,5^3}\bruch{5}{2}\cdot{}\red{-2,5^2}\right]=-\left[\bruch{250}{24}-\bruch{125}{8}\right]=\bruch{125}{24}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 5,21
Gruß
schachuzipus
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Das sind dann 5,21 FE richtig? Damit wäre das ja das Ergebnis. Jetzt weiß ich auch wie man solche Aufgaben löst, hatte am Anfang so meine Probleme.
Dankeschön! und viele Grüße
Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Das sind dann 5,21 FE richtig? Damit wäre das ja das
> Ergebnis. Jetzt weiß ich auch wie man solche Aufgaben löst,
> hatte am Anfang so meine Probleme.
>
ja, aber bleib in der Regel lieber bei dem Bruch [mm] \frac{125}{24} [/mm] anstelle der gerundeten Zahl, das ist exakter. 
Gruß informix
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