Fkt wohldefiniert, diffbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 22.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
| Aufgabe 1 | | Wann ist die Funktion f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} kx^k [/mm] für |x| < 1 wohldefiniert und für |x| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] beliebig oft differenzierbar? |
| Aufgabe 2 | | Wie sehen die Ableitungen aus? |
| Aufgabe 3 | | Vergleichen Sie die Funktion f mit ihrer Taylor-Reihe für den Entwicklungspunkt a = 0. |
Ich hab leider noch keine Idee wie ich das alles lösen soll, mal abgesehen von den Ableitungen. Ich brauch dringen hilfe. Vielen Dank...
MfG MissYumi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 22.01.2006 | | Autor: | snowda |
Hi MissYumi,
also für mich sieht das so aus, als ob man da kaum was rechnen muss.
1) i) wohldefiniert? wohl wenn sie konvergiert, also Konvergenzradius bestimmen. ii) Potenzreihen sind innerhalb des Konvergenzradius diffbar
2) ...und dürfen innerhalb desselben gliedweise differenziert werden.
3) Tipp: Jede Potenzreihe ist die Taylor'sche Entwicklung ihrer Summe, also mit Hilfe von 2) Taylor drüberjagen und mal scharf anschauen.
hoffe, das hilft weiter,
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 22.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Jetzt hab ich aber noch ein paar Fragen.
1. Laut meinem Skript wäre 1 der Konvergenzradius das |x| < 1 ist. Also brauch ich das ja nicht berechnen oder wie? Wenn doch wie mache ich das dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 22.01.2006 | | Autor: | snowda |
stimmt. Ok, Konvergenzradius ausrechenen is Handwerkszeug; wenn du noch kein Nachschlagwerg hast, würd ich dir doch mal Repetitorium der höheren Mathematik an's Herz legen, sofern du denn noch was länger mit HöMa zu tun hast.
ansonsten zur Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}
[/mm]
KR := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{\vmat{a_{n}}}}, [/mm] wobei das limes superior sein soll.
Gruß,
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 22.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Ok vielen Dank. Das mit dem KR hab ich jetzt verstanden. Aber zur differenzierbarkeit noch eine Frage. Muss ich das jetzt nicht beweisen das die Funktion für |x| < 1/2 beliebig oft differenzierbar ist? Wie mache ich das dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 So 22.01.2006 | | Autor: | snowda |
Tja, k.A. Wenn man was beweisen soll, steht normalerweise ausdrücklich ein "zeigen Sie", o.ä. davor. Wie gesagt: Potenzen innerhalb des KR diffbar.
Ansonsten müsstest du hier schon was tiefer im Skript blättern; ich würd das so machen:
Grenzwert einer Funktionenfolge fn auf kompakten Intervall I ist diffbar, falls alle fn diffbar auf I und weiterhin
a) d/dx fn auf I glm. gegen g konvergiert.
b) fn für ein x aus dem Innern von I konvergiert.
Die Funktionenfolge fn sind hier die Partialsummen der Potenzreihe, also immer nur bis n, statt bis unendlich. Die sind natürlich diffbar für alle n (Polynome sind undendlich oft diffbar).
zu a) lt. Vorraussetzung die fn's differenzieren (k-1 nach vorne und index um eins nach oben verschoben). Konvergenzradius berechnen (k²-k quadratisch ergänzen ==> KR geht gegen eins).
lt. Konvergezregeln für Potenzreihen konvergiert Potenzeihe mit KR R > 0 glm. für alle [mm] \vmat{x-x_{0}} \le [/mm] r < R. d.h. auch für ein r = 1/2 wie in der Aufgabe steht.
b) klar, da KR > 1.
so damit ist fn->f glm. für [mm] n->\infty [/mm] und f' = g, also die Potenzreihe sogar auf [-1/2,1/2] diffbar.
hoffe mal, man kann das einigermaßen nachvollziehen.
Daniel
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