Fkt nach y = y(x) auflösen? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] f(x, y) = cos(x^2) + 2xy + sin(y^2) - 4x - 1 + y [/mm].
(a) Zeigen Sie, dass [mm] f(x, y) = 0 [/mm] im Punkt $ (0, 0) $ nach $ y = y(x) $ auflösbar ist.
(b) Berechnen Sie $ y'(0) $. |
Hallo zusammen,
ich habe bei dieser Aufgabe ein grundlegendes Verständnisproblem. Wie soll ich die Funktion im Punkt (0,0) nach $ y = y(x) $ auflösen? Was ist damit eigentlich gemeint? $ y $ in Abhängigkeit von $ x $ ausdrücken? Ich weiß, dass $ f(0, 0) = 0 $ gilt, was kann ich da noch umformen?
Ich bräuchte ein paar Tipps, schön wäre eine für mich verständliche Interpretation der Aufgabenstellung.
Vielen Dank für Eure Bemühungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f(x, y) = cos(x^2) + 2xy + sin(y^2) - 4x - 1 + y [/mm].
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> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f(x, y) = 0[/mm] im Punkt [mm](0, 0)[/mm] nach [mm]y = y(x)[/mm]
> auflösbar ist.
> (b) Berechnen Sie [mm]y'(0) [/mm].
> Hallo zusammen,
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> ich habe bei dieser Aufgabe ein grundlegendes
> Verständnisproblem. Wie soll ich die Funktion im Punkt
> (0,0) nach [mm]y = y(x)[/mm] auflösen? Was ist damit eigentlich
> gemeint? [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x[/mm] ausdrücken? Ich weiß,
> dass [mm]f(0, 0) = 0[/mm] gilt, was kann ich da noch umformen?
>
> Ich bräuchte ein paar Tipps, schön wäre eine für mich
> verständliche Interpretation der Aufgabenstellung.
Du sollst zeigen: es gibt eine offene Umgebung U [mm] \subset \IR [/mm] von 0 und eine differenzierbare Funktion $y:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit den Eigenschaften:
y(0)=0 und f(x,y(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
Hast Du den Begriff "implizit definierte Funktion" schon mal gehört (gesehen) ?
FRED
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> Vielen Dank für Eure Bemühungen!
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Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Antwort. Das Stichwort "implizit definierte Funktionen" war sehr wertvoll. Damit konnte ich die Aufgabe lösen und zwar wie folgt:
(a)
Für die Auflösbarkeit nach $ y $ muss ich zunächst prüfen, ob der Satz über implizite Funktionen überhaupt anwendbar ist. Für die Anwendbarkeit des Satzes müssen in diesem Fall zwei Bedingungen erfüllt sein.
1. $ f [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] = 0 $ mit $ [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] = (0, 0) $
2. Die Jacobi-Matrix $ [mm] J_{y, f}(x_{0}, y_{0}) [/mm] $ aus den partiellen Ableitungen von $ f $ nach $ y $ muss invertierbar sein.
Wenn 1. und 2. also erfüllt sind, kann ich daraus folgern, dass die implizite Gleichung $ f(x, y) = 0 $ in der Nähe von $ [mm] (x_{0}, x_{0}) [/mm] = (0, 0) $ nach $ y $ auflösbar ist, womit Aufgabenteil (a) gelöst wäre.
ad 1.: Durch Einsetzen von $ (0, 0) $ in $ f(x, y) $ erhält man $ 0 $.
ad 2. $ [mm] J_{y, f}(x_{0}, y_{0}) [/mm] $ enthält in diesem Falle ein Element:
[mm]
\bruch{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y cos(y^2) + 1 [/mm], und nach Einsetzen von $ [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] = (0, 0) $ folgt:
$ [mm] J_{y, f}(x_{0}, y_{0}) [/mm] = [mm] \pmat{1} [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Matrix ist invertierbar.
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] f(x_0, y_0) [/mm] = 0 $ ist um $ (0, 0) $ nach $ y $ auflösbar.
(b)
Für die Ableitung von $y(x)$ nach $x$ an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] gilt:
$ [mm] J_{x,y}(x_0) [/mm] = [mm] -(J_{y,f}(x_0, y_0))^{-1} [/mm] * [mm] J_{x,f}(x_0, y_0) [/mm] $
[mm] = -1 * (-4) = 4 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $ y'(0) = 4 $
Liege ich damit richtig, oder habe ich Fehler gemacht? Es wäre nett, wenn das nochmal jemand überprüfen könnte.
Vielen Dank!
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Hallo,
> Hallo Fred,
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> vielen Dank für Deine Antwort. Das Stichwort "implizit
> definierte Funktionen" war sehr wertvoll. Damit konnte ich
> die Aufgabe lösen und zwar wie folgt:
>
> (a)
> Für die Auflösbarkeit nach [mm]y[/mm] muss ich zunächst prüfen,
> ob der Satz über implizite Funktionen überhaupt anwendbar
> ist. Für die Anwendbarkeit des Satzes müssen in diesem
> Fall zwei Bedingungen erfüllt sein.
>
> 1. [mm]f (x_{0}, y_{0}) = 0[/mm] mit [mm](x_{0}, y_{0}) = (0, 0)[/mm]
In deinem Fall ist es [mm] (x_0,y_0)=(0,0)
[/mm]
Hat aber keine Allgemeingültigkeit. Das ist denke ich allerdings klar.
> 2. Die
> Jacobi-Matrix [mm]J_{y, f}(x_{0}, y_{0})[/mm] aus den partiellen
> Ableitungen von [mm]f[/mm] nach [mm]y[/mm] muss invertierbar sein.
>
> Wenn 1. und 2. also erfüllt sind, kann ich daraus folgern,
> dass die implizite Gleichung [mm]f(x, y) = 0[/mm] in der Nähe von
> [mm](x_{0}, x_{0}) = (0, 0)[/mm] nach [mm]y[/mm] auflösbar ist, womit
> Aufgabenteil (a) gelöst wäre.
>
> ad 1.: Durch Einsetzen von [mm](0, 0)[/mm] in [mm]f(x, y)[/mm] erhält man [mm]0 [/mm].
>
> ad 2. [mm]J_{y, f}(x_{0}, y_{0})[/mm] enthält in diesem Falle ein
> Element:
>
> [mm]
\bruch{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y cos(y^2) + 1 [/mm], und
> nach Einsetzen von [mm](x_{0}, y_{0}) = (0, 0)[/mm] folgt:
>
> [mm]J_{y, f}(x_{0}, y_{0}) = \pmat{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Matrix ist invertierbar.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x_0, y_0) = 0[/mm] ist um [mm](0, 0)[/mm] nach [mm]y[/mm]
> auflösbar.
>
> (b)
> Für die Ableitung von [mm]y(x)[/mm] nach [mm]x[/mm] an der Stelle [mm]x_{0}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]J_{x,y}(x_0) = -(J_{y,f}(x_0, y_0))^{-1} * J_{x,f}(x_0, y_0)[/mm]
>
> [mm]= -1 * (-4) = 4[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]y'(0) = 4[/mm]
>
> Liege ich damit richtig, oder habe ich Fehler gemacht? Es
> wäre nett, wenn das nochmal jemand überprüfen könnte.
Absolut korrekt!
Kurz gesagt, muss man eben zwei Dinge machen:
1. [mm] f(x_0,y_0)=0 [/mm] sein und
2. Man berechne [mm] f_y(x_0,y_0). [/mm] Dies muss ungleich Null sein.
Für y'(x) betrachte man y in Abhängigkeit von x und leitet nach x ab und setzte dann den Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein.
Also: Alles richtig gemacht!
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> Vielen Dank!
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> Es sei [mm]f(x, y) = cos(x^2) + 2xy + sin(y^2) - 4x - 1 + y [/mm].
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> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f(x, y) = 0[/mm] im Punkt [mm](0, 0)[/mm] nach [mm]y = y(x)[/mm]
> auflösbar ist.
> (b) Berechnen Sie [mm]y'(0) [/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe ein grundlegendes
> Verständnisproblem. Wie soll ich die Funktion im Punkt
> (0,0) nach [mm]y = y(x)[/mm] auflösen? Was ist damit eigentlich
> gemeint? [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x[/mm] ausdrücken? Ich weiß,
> dass [mm]f(0, 0) = 0[/mm] gilt, was kann ich da noch umformen?
>
> Ich bräuchte ein paar Tipps, schön wäre eine für mich
> verständliche Interpretation der Aufgabenstellung.
>
> Vielen Dank für Eure Bemühungen!
Fred hat schon geantwortet. Eigentlich wäre eine leise
Kritik an der Aufgabenstellung angebracht:
Die Aufgabe (a) sollte eigentlich etwa so formuliert werden:
(a) Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]f(x, y) = 0[/mm]
für eine Umgebung des Punktes (0, 0)
nach [mm]y = y(x)[/mm] auflösbar ist.
LG Al-Chwarizmi
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> Es sei [mm]f(x, y) = cos(x^2) + 2xy + sin(y^2) - 4x - 1 + y [/mm].
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f(x, y) = 0[/mm] im Punkt [mm](0, 0)[/mm] nach [mm]y = y(x)[/mm]
> auflösbar ist.
> (b) Berechnen Sie [mm]y'(0) [/mm].
Der Graph der Gleichung sieht tatsächlich etwas skurril
aus: ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha
Mir hat es insbesondere das Kringelchen um den Punkt
(-2.45 | 2.65) herum angetan ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Al-Chw,
wenn mir jemand sagt, dass Mathematik keine Schönheit und Ästhetik hat, dann werde ich ihm wohl den Graph zeigen.
Das ist wohl schon keine Mathematik mehr, sondern wahre Kunst.
;)
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