Fixpunktsatz, Divergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Mo 19.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei a>0 vorgegeben.Die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] werde rekursiv definiert durch
[mm] a_0=a [/mm] und [mm] a_{n+1}=a^{a_n} [/mm] für alle [mm] n\ge0
[/mm]
a)
Man zeige: Die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert für 1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le e^{\frac{1}{e}} [/mm] und divergiert für [mm] a>e^{\frac{1}{e}}
[/mm]
Hinweis: Ein möglicher Grenzwert ist Fixpunkt der Abbildung x [mm] \mapsto a^x [/mm] |
Hallo,
[mm] a_0=a
[/mm]
[mm] a_1=a^a
[/mm]
[mm] a_2=a^{a^a}
[/mm]
Für [mm] a\ge [/mm] 1 gilt dass [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] monoton steigend ist:
n=0 [mm] a_0=a
Es gelte nach Induktionsannahme [mm] a_{n-1}
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] a_n=a^{a_{n-1}}
Für [mm] 1\le a\le e^{\frac{1}{e}} [/mm] ist [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] beschränkt:
Annahme [mm] 1\le a_n\le [/mm] <e
n=0 [mm] 1\le a_0=a \le e^{\frac{1}{e}} [/mm] < e
Es gelte nach Induktionsannahme [mm] 1\le a_n \le [/mm] e
Induktionsschritt: [mm] 1\le a_n =a^{a_{n-1}} \le a^{a_n} =a_{n+1}\le a^e \le (e^{\frac{1}{e}})^e [/mm] =e
[mm] \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert
Für [mm] a>e^{\frac{1}{e}} [/mm] hab ich wie im Hinweis den Fixpunktsatz zu rate ziehen wollen
Sei [mm] D\subseteq\mathbb{R} [/mm] ein abgeschlossenes Intervall und f: [mm] D\rightarrow \mathbb{R} [/mm] eine differenzierbare Funktion mit [mm] f(D)\subseteq [/mm] D. Es gebe ein q < 1, so [mm] dass|f'(x)|\le [/mm] q für alle [mm] x\in [/mm] D . Sei [mm] x_0 \in [/mm] D beliebig und [mm] x_n:=f(x_{n-1}) [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1
Dann konvergiert die Folge [mm] (x_n) [/mm] gegen die eindeutige Lösung [mm] \epsilon\in [/mm] D der Gleichung [mm] f(\epsilon)=\epsilon.
[/mm]
Zurück zum Bsp.:
[mm] f(x)=a^x
[/mm]
[mm] x_n=f(x_{n-1})=a^{x_n-1} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1
Wie erhalte ich aber mit den Fixpunktsatz ein Widerspruch zur Konvergenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 21.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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