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| Aufgabe | Sei , und für V definiere
||x||:= { | xi | : i=1,...,n } .
(a) Zeigen Sie, dass (V, damit ein Banachraum (=vollständiger normierter Vektorraum) wird.
(b) Sei b V ein Vektor und A eine Matrix, welche für jedes i=1,...,n die Bedingung
| xi | < 1 erfüllt. Zeigen Sie, dass die Gleichung ( A - E )x = b eine eindeutige Lösung V besitzt, wobei die Einheitsmatrix ist. |
Hallo ich habe mal eine Frage zu b)
Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
(A-E)x ist wenn (A-E)x=0 die triviale Lösung ist!
Demnach kann man die Eindeutigkeit der Lösung doch als Fixpunktproblöem schreiben und zwar:
Ax=x
ich wollte fragen ob die Überlegung soweit richtig ist?
Denn dann müsste ich ja nur zeigen das A kontrahierend ist also
||Ax-Ay|| [mm] \le [/mm] ||x-y|| mit 0<r<1
Da liegt mein Problem wie man das zeigt denn es geht ja nicht einfach A rauszuziehen weil es doch den Term verändert also
|aij| ||x-y|| [mm] \le [/mm] r||x-y|| geht nicht oder?
Bin für jeden Tipp dankbar!
mfg
Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt!
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Kann es sein, daß du an entscheidender Stelle ein Summenzeichen vergessen hast. So stand es jedenfalls in dieser Aufgabe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 19.06.2006 | | Autor: | CampDavid |
Oh ja selbstverständlich muss es heißen:
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] |aij| < 1 für alle i=1,...,n
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 21.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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