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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Britta |
Hallo Leute!
Ich brauche dringend eure Hilfe für folgende Übungsaufgabe:
Ist f : D -> R eine Funktion, so heißt ein Punkt x Element D mit f(x) = x Fixpunkt von f. Zeige:
Ist f : R -> R stetig und monoton fallend ( d. h. es gilt f(x) kleiner gleich f(y) für alle x y, Element R mit x größer gleich y ) so besitzt f einen Fixpunkt.
Über eure Hilfe würde ich mich echt freuen.
Lieben Gruß Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Britta!
Betrachte mal die Funktion
$g: [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & f(x) - x \end{array}$.
[/mm]
Für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt: $f(x) [mm] \le [/mm] f(0)$. Daher gilt:
[mm] $\lim\limits_{x \to + \infty} [/mm] g(x) = [mm] \lim\limits_{x \to + \infty} (\underbrace{f(x)}_{\le f(0)} [/mm] - x) = - [mm] \infty$.
[/mm]
Für alle $x [mm] \le [/mm] 0$ gilt: $f(x) [mm] \ge [/mm] f(0)$. Daher gilt:
[mm] $\lim\limits_{x \to - \infty} [/mm] g(x) = [mm] \lim\limits_{x \to - \infty} (\underbrace{f(x)}_{\ge f(0)} [/mm] - x) = + [mm] \infty$.
[/mm]
Es gibt also in jedem Fall $x<0$ und $y>0$ mit
$g(x) < 0 < g(y)$.
Nach dem Zwischenwertsatz (beachte bitte, dass $g$ als Differenz zweier stetiger Funktionen stetig ist!) gibt es dann ein $c [mm] \in [/mm] ]x,y[$ mit:
$g(c) = 0$,
also mit
$f(c)=c$.
Melde dich einfach wieder bei (Nach-)Fragen.
Demnächst bitte unbedingt eigene Ansaätze und Ideen zu der Aufgabe posten, nicht nur die Aufgabenstellung!
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Micha |
...und ich hab damals an der Aufgabe ne Woche gesessen und irgendwann um 1 Uhr in der Nacht bin ich auf die Lösung gekommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Do 17.06.2004 | | Autor: | Britta |
Danke für die schnelle Hilfe, beim nächsten Mal werde ich Lösungsansätze einbringen, hatte die Seite aber gerade erst entdeckt und bei diesen Aufgaben gar keinen Plan da ich die letzten 1 1/2 Wochen mit Grippe im Bett lag und die Vorlesungen erst noch nacharbeiten muss.
Also vielen vielen Dank du hast mir damit sehr geholfen!
Gruß Britta
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