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| Aufgabe | 1) Diese Bestimmungsgleichung lässt sich in die Fixpunktgleichung
[mm] x=\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel{x^{3}+1} [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
umformen.
a) Berechnen Sie nach dem Fixpunktsatz eine Lösung x
b) Bei wie vielen Iterationsschritten n kann man sicher sein, dass man x auf [mm] 0,5*10^{-5} [/mm] genau berechnet hat? |
Hallo,
zu b) habe ich noch ein paar Fragen....:
Kann man das hier, obwohl es sich ja um Fixpunkte handelt auch mit der Formel berechnen:
[mm] |I-T_{n}| \le \bruch{M}{12}*(b-a)*(\bruch{b-a}{n})^{2}
[/mm]
Meine Funktion ist diesmal monoton steigend, deshalb setze ich um M zu berechnen die obere Grenze in die 2.Ableitung ein und bekomme dann:
[mm] \bruch{2^{(-3/2)}}{3^{(-3/2)}} [/mm] Ich hoffe das stimmt so.
Ich setze es mal nicht ein, sonst sieht es zu kompliziert aus, aber mein Problem ist es, jetzt die Formel nach n umzustellen... ich habe jetzt:
[mm] \bruch{M}{12}*(1)*(\bruch{1}{n^{2}}) \le 0,5*10^{-5}
[/mm]
So, und was kann ich jetzt machen? Ich kann doch nicht einfach die Wuzel ziehen von allem und mit n malnehmen, oder? Ich will doch n auf dieser Seite behalten...
Ich weiß, ist eigentlich nur so ein kleines Problem beim Umformen, aber ich kriegs einfach gerade nicht hin... Kann mir jemand helfen???? Wäre echt super!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Di 30.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch ne kontrahierende Abbildung. je nach Startwert kannst du den Kontraktionsfaktor abschaetzen. der wird jetzt immer wieder angewandt.
Woher deine Formel kommt, kann ich nicht direkt sehen, aber auch nicht, warum sie gelten sollte.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe absolut keine Ahnung was Du tust.
Tun sollst Du folgendes:
Du hast die Abbildung $ [mm] F(x)=\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\wurzel{x^{3}+1} [/mm] $
1. Zeige, dass F auf [0,1] kontrahierend ist und bestimme eine Konstante q<1 so, dass |F(x)-F(y)| [mm] \le [/mm] q|x-y| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] [0,1].
2. Nach dem Fixpunktsatz hat F in [0,1] genau eine Fixpunkt x*. Sei [mm] x_0 [/mm] in [0,1] und [mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] F(x_n). [/mm] Dann konvergiert [mm] (x_n) [/mm] gegen x*
3. Es gilt die Abschätzung
|x* [mm] -x_n| \le \bruch{q^n}{1-q}|x_1-x_0|
[/mm]
Jetzt kannst Du n so bestimmen, dass |x* [mm] -x_n| \le [/mm] $ [mm] 0,5\cdot{}10^{-5} [/mm] $
FRED
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Hallo,
danke. ok. Das ist die Fehlerabschätzung. Aber wie komme ich an das n heran? Ich möchte noch n ausrechnen und also nach n auflösen, aber wie geht das hier??
Und dabei habe ich noch ein Problem: Bei uns lautet die Formel nicht:
>
> 3. Es gilt die Abschätzung
>
> |x* [mm]-x_n| \le \bruch{q^n}{1-q}|x_1-x_0|[/mm]
>
sondern im Zähler steht bei dem Bruch nur q und nicht [mm] q^n, [/mm] kann das sein??? Und wie genau berechne ich q? Wenn die Funktion monoton fällt, setze ich das kleinste Intervallende in die Ableitung ein, und wenn sie monoton steigt das größte?? Und damit bekomme ich q??
> Jetzt kannst Du n so bestimmen, dass |x* [mm]-x_n| \le[/mm]
> [mm]0,5\cdot{}10^{-5}[/mm]
>
Ja, und wie komme ich hier an das n????
Wäre super, wenn mir da nochmal schnell jemand helfen könnte...!!!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke. ok. Das ist die Fehlerabschätzung. Aber wie komme
> ich an das n heran? Ich möchte noch n ausrechnen und also
> nach n auflösen, aber wie geht das hier??
>
> Und dabei habe ich noch ein Problem: Bei uns lautet die
> Formel nicht:
>
>
> >
> > 3. Es gilt die Abschätzung
> >
> > |x* [mm] -x_n| \le \bruch{q^n}{1-q}|x_1-x_0|[/mm]
[/mm]
> >
>
> sondern im Zähler steht bei dem Bruch nur q und nicht [mm]q^n,[/mm]
> kann das sein???
Nein !!
>Und wie genau berechne ich q? Wenn die
> Funktion monoton fällt, setze ich das kleinste
> Intervallende in die Ableitung ein, und wenn sie monoton
> steigt das größte?? Und damit bekomme ich q??
>
>
> > Jetzt kannst Du n so bestimmen, dass |x* [mm] -x_n| \le[/mm] [/mm]
> > [mm]0,5\cdot{}10^{-5}[/mm]
> >
>
> Ja, und wie komme ich hier an das n????
>
> Wäre super, wenn mir da nochmal schnell jemand helfen
> könnte...!!!
> Viele Grüße,
> Anna
>
>
Auf [0,1] ist |F'(x)| = F'(x) [mm] \le \wurzel{3}/2 [/mm] =: q <1
Dieses q ist Deine Kontraktionskonstante ( ich habs Dir früher schon mal vorgemacht wie man darauf kommt (MWS))
Du willst also |x* [mm] -x_n| \le [/mm] $ [mm] 0,5\cdot{}10^{-5} [/mm] $. Das ist, wegen obiger Abschätzung, der Fall, wenn
[mm] \bruch{q^n}{1-q}|x_1-x_0| \le 0,5\cdot{}10^{-5} [/mm]
Bei der Wahl des Startwertes [mm] x_0 [/mm] hast Du große Freiheit, Du kannst auch [mm] x_0 [/mm] = 0 wählen. Dann ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] 1/\wurzel{3}. [/mm] Also mußt Du n so bestimmen, dass
[mm] \bruch{q^n}{1-q}1/\wurzel{3} \le 0,5\cdot{}10^{-5} [/mm]
Löse diese Ungleichung nach n auf
FRED
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hallo,
achso, ich habe hier in meinen Unterlagen gerade noch eine andere Formel für die Fehlerbestimmung gefunden und da heißt es:
[mm] |x_{n}-x^{\*}| \le \bruch{q}{q-1} |x_{n}-x_{n-1}|=\bruch{q^{n}}{q-1} |x_{1}-x_{0}|
[/mm]
Kann das wohl stimmen??
Ist man dann bei der rechten Variante immer auf [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] festgelegt??
Und wie kann ich das jetzt nach n auflösen?
Ich kann doch nicht einfach schreiben:
[mm] \bruch{n ln(q)}{q-1} |x_{1}-x_{0}| \le 0,5*10^{-5}
[/mm]
Also so:
n* [mm] \bruch{ ln(q)}{ln (q-1)} |ln(x_{1})-ln(x_{0})| \le [/mm] 0,5*(-5)*ln(10)
Und jetzt durch [mm] \bruch{ ln(q)}{ln (q-1)} |ln(x_{1})-ln(x_{0})| [/mm] teilen, sodass n auf einer Seite alleine steht???
Sorry für so eine doofe Frage, aber irgendwie bin ich da bisher wohl immer drum herum gekommen..... hoffe irgendwer hat trotzdem Lust mir zu antworten....
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> achso, ich habe hier in meinen Unterlagen gerade noch eine
> andere Formel für die Fehlerbestimmung gefunden und da
> heißt es:
>
> [mm]|x_{n}-x^{\*}| \le \bruch{q}{q-1} |x_{n}-x_{n-1}|=\bruch{q^{n}}{q-1} |x_{1}-x_{0}|[/mm]
>
Das ist doch das , was ich gesagt habe (falls Du 1-q statt q-1 schreibst !!!! (q-1 ist negativ)
> Kann das wohl stimmen??
> Ist man dann bei der rechten Variante immer auf [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{0}[/mm] festgelegt??
>
> Und wie kann ich das jetzt nach n auflösen?
> Ich kann doch nicht einfach schreiben:
>
> [mm]\bruch{n ln(q)}{q-1} |x_{1}-x_{0}| \le 0,5*10^{-5}[/mm]
>
> Also so:
>
> n* [mm]\bruch{ ln(q)}{ln (q-1)} |ln(x_{1})-ln(x_{0})| \le[/mm]
> 0,5*(-5)*ln(10)
>
> Und jetzt durch [mm]\bruch{ ln(q)}{ln (q-1)} |ln(x_{1})-ln(x_{0})|[/mm]
> teilen, sodass n auf einer Seite alleine steht???
>
> Sorry für so eine doofe Frage, aber irgendwie bin ich da
> bisher wohl immer drum herum gekommen..... hoffe irgendwer
> hat trotzdem Lust mir zu antworten....
>
> Viele Grüße,
> Anna
Es geht darum eine Ungleichung der Form [mm] cq^n \le [/mm] b nach n aufzulösen.
Die Rechenregeln für den Logarithmus ( diese solltest Du Dir nochmal ansehen !!) liefern:
ln(c)+n ln(q) [mm] \le [/mm] ln(b), also n ln(q) [mm] \le [/mm] ln(b)-ln(c), somit
n [mm] \ge \bruch{ln(b)-ln(c)}{ln(q)}
[/mm]
Ist Dir klar, warum sich das Ungleichheitszeichen umgedreht hat ?
FRED
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Hallo,
danke... nein, das ist mir in der Tat nicht klar... dachte das wird immer umgedreht, wenn man die Vorzeichen verändert oder so... aber ist hier ja nicht...
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Di 30.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
q<1 was hat lnq fuer ein Vorzeichen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Di 30.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
ja, dann habe ich durch einen negativen Wert geteilt. Ok, sehe ich ein; habe mir die Regeln nochmal angeschaut.
Danke.
Gruß, Anna
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