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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Fixpunkt
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Fixpunkt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Do 30.08.2012
Autor: derahnungslose

Aufgabe
Gegeben seien

[mm] A=\pmat{ \wurzel{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 }, b=\vektor{2 \\ 2} [/mm] und k: [mm] \IR^2 \mapsto \IR^2 [/mm] : [mm] v\IR^2 [/mm] Av+b.

Bestimmen Sie einen Fixpunkt von k, das heißt: bestimmen Sie ein x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit k(x)=x..

Hallo Mathefreunde,

ich habe versucht eine Fixpunktgerade auszurechnen. Irgendwo in meiner Formelsammlung (selbsterstellt), habe ich folgendes gefunden: (A-E)v=0 wobei E die Einheitsmatrix ist.

[mm] \pmat{ \wurzel{3}/2 -1 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 -1} =\vektor{0 \\ 0} [/mm]

Irgendwie kriege ich das nicht gebacken, dieses LGS aufzulösen. Ist das überhaupt der richtige Weg?

Vielen vielen vielen Dank!

        
Bezug
Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Do 30.08.2012
Autor: Schadowmaster


> Gegeben seien
>
> [mm]A=\pmat{ \wurzel{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 }, b=\vektor{2 \\ 2}[/mm]
> und k: [mm]\IR^2 \mapsto \IR^2[/mm] : [mm]v\IR^2[/mm] Av+b.
>  
> Bestimmen Sie einen Fixpunkt von k, das heißt: bestimmen
> Sie ein x [mm]\in \IR^2[/mm] mit k(x)=x..
>  Hallo Mathefreunde,
>  
> ich habe versucht eine Fixpunktgerade auszurechnen.
> Irgendwo in meiner Formelsammlung (selbsterstellt), habe
> ich folgendes gefunden: (A-E)v=0 wobei E die Einheitsmatrix
> ist.
>  
> [mm]\pmat{ \wurzel{3}/2 -1 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 -1} =\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>  
> Irgendwie kriege ich das nicht gebacken, dieses LGS
> aufzulösen. Ist das überhaupt der richtige Weg?

Nein, das klappt leider nicht so.
Auf diese Art würde es gehen, wenn $b = [mm] \vektor{0 \\ 0}$, [/mm] also nicht in deinem Fall.
Für deinen Fall:
$Ax + b = x$ soll nach $x$ aufgelöst werden. Hier kann man auch eine Einheitsmatrix reinmogeln:
$Ax + b = Ex [mm] \gdw [/mm] Ax - Ex = -b [mm] \gdw [/mm] (A-E)x = -b$

Das heißt wenn du in deinem LGS die rechte Seite durch [mm] $\vektor{-2 \\ -2}$ [/mm] ersetzt kriegst du das $x$ wie gewünscht raus.
Vergiss nicht $x$ am Schluss nochmal einzusetzen und zu gucken, ob $Ax + b = x$ wirklich gilt; das geht schnell und zeigt, ob man sich verrechnet hat.

lg

Schadow


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Fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Do 30.08.2012
Autor: derahnungslose

Danke Shadowmaster!

Jetzt bin ich ein bisschen schlauer geworden. Ich stelle die Gleichung jetzt so um:

[mm] \pmat{ \wurzel{3}/2 -1 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 -1} =\vektor{-2 \\ -2} [/mm]

Ich finde aber immer noch keine Zahl, mit der ich die 1.Zeile multiplizieren kann, damit die 2.Zeile raus kommt.Oder schaffe ich das in diesem Fall gar nicht?



Bezug
                        
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Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Do 30.08.2012
Autor: reverend

Hallo Ahnungsloser,

> Jetzt bin ich ein bisschen schlauer geworden. Ich stelle
> die Gleichung jetzt so um:
>  
> [mm]\pmat{ \wurzel{3}/2 -1 & -1/2 \\ 1/2 & \wurzel{3}/2 -1} =\vektor{-2 \\ -2}[/mm]
>  
> Ich finde aber immer noch keine Zahl, mit der ich die
> 1.Zeile multiplizieren kann, damit die 2.Zeile raus
> kommt.Oder schaffe ich das in diesem Fall gar nicht?

Nein, so eine Zahl gibt es nicht. Die Zeilen sind linear unabhängig, die Determinante der Matrix ist [mm] \not=0. [/mm]

Du suchst aber auch gar keine Zahl, sondern einen Vektor. Schau nochmal in die Aufgabenstellung: gesucht ist ein [mm] x\in\IR^{\blue{2}}. [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                                
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Fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Do 30.08.2012
Autor: derahnungslose

Mir war das klar, dass ich "2 Zahlen" brauche. Ich wollte die 1.Zeile mit einer Zahl multiplizieren das sie gleich der 2.Zeilen ist, damit ich x1 und x2 leichter ablesen kann. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sehen meine Gleichungen jetzt so aus


[mm] (\wurzel{3}/2-1)x_{1}-1/2x_{2}=-2 [/mm]

[mm] 1/2x_{1}+\wurzel{3}/2-1)x_{2}=-2 [/mm]

korrekt? Wenn ja, wie löse ich das jetzt?

Bezug
                                        
Bezug
Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Do 30.08.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Mir war das klar, dass ich "2 Zahlen" brauche. Ich wollte
> die 1.Zeile mit einer Zahl multiplizieren das sie gleich
> der 2.Zeilen ist, damit ich x1 und x2 leichter ablesen
> kann.

Ach so. Dann habe ich die Frage falsch verstanden.

> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sehen
> meine Gleichungen jetzt so aus
>  
>
> [mm](\wurzel{3}/2-1)x_{1}-1/2x_{2}=-2[/mm]
>  
> [mm]1/2x_{1}+\wurzel{3}/2-1)x_{2}=-2[/mm]
>  
> korrekt? Wenn ja, wie löse ich das jetzt?

Na, z.B. Gaußalgorithmus, oder durch gleichsetzen oder...

Also 1. Zeile mal [mm] \tfrac{1}{2}- [/mm] 2. Zeile mal [mm] \left(\tfrac{1}{2}\wurzel{3}-1\right), [/mm] dann steht da nur noch eine Gleichung in [mm] x_2. [/mm] Das dann wieder in eine der beiden Gleichungen einsetzen.

Ganz normales LGS, nur sind die Koeffizienten eben ein bisschen "krummer" als gewohnt.

Grüße
reverend


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