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| Aufgabe | F: C|0,a| [mm] \to [/mm] C|0,a| mit f [mm] \mapsto F_f, [/mm] die punktweise gegeben ist durch
[mm] F_f [/mm] (x) = 1+ [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
wobei [mm] 0\le [/mm] a <1 und [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] a
Zeige: F ist bzgl SupNorm eine Kontraktion auf C|0,a| und besitzt einen eindeutigen Fixpunkt. |
Ich habe also ein unbestimmtes Integral und soll zeigen, dass es C<1 gibt mit
[mm] d(F(x_1),F(x_2)) [/mm] < [mm] C*d(x_1,x_2) [/mm] oder?
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Fr 18.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> F: C|0,a| [mm]\to[/mm] C|0,a| mit f [mm]\mapsto F_f,[/mm] die punktweise
> gegeben ist durch
> [mm]F_f[/mm] (x) = 1+ [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> wobei [mm]0\le[/mm] a <1
> und [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a
>
> Zeige: F ist bzgl SupNorm eine Kontraktion auf C|0,a| und
> besitzt einen eindeutigen Fixpunkt.
> Ich habe also ein unbestimmtes Integral und soll zeigen,
> dass es C<1 gibt mit
> [mm]d(F(x_1),F(x_2))[/mm] < [mm]C*d(x_1,x_2)[/mm] oder?
Nein ! Für h [mm] \in [/mm] C[0,a] ist die supNorm [mm] $||h||_{\infty}$ [/mm] def. durch
[mm] $||h||_{\infty}= [/mm] max [mm] \{|h(x)|: x \in [0,a] \}$
[/mm]
Du sollst zeigen: es gibt ein C<1 mit:
[mm] $||F_f-F_g||_{\infty}$ \le C$||f-g||_{\infty}$ [/mm] für alle f,g [mm] \in [/mm] C[0,a]
FRED
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> Leider habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
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