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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Gleichung cos(x)=x auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung hat, die mit der Fixpunktiteration [mm] x_n+1=cos(x_n) [/mm] berechnet werden kann. Berechnen sie die Lösung auf 6 Dezimalstellen genau. |
Hallo!
Also anschaulich ist es klar das cos(x) nur einen Fixpunkt hat, das Porblem ist, wie zeig ich es. Der Kontraktionssatz garantiert mir einen eindeutigen Fixpunkt unter der Bedingung, dass die Funktion F: M->M eine Kontraktion ist. Nun ist es doch aber so, dass cos(x) zwar Lipschitzstetig mit L=1 ist, aber eben nicht kontrahierend.
Das zweite was mich wundert ist, das ich den Fixpunkt auf 6 Dezimalen genau berechnen soll, doch wie soll ich das machen? Ohne den Fixpunkt zu kennen, kann ich doch auch keine Fehlerabschätzung machen, oder?
vielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Mo 03.11.2008 | | Autor: | dasZamomin |
Sorry, es heisst natürlich [mm] x_(n+1)=cos(x_n)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen sie, dass die Gleichung cos(x)=x auf [mm]\IR[/mm] genau eine
> Lösung hat, die mit der Fixpunktiteration [mm]x_n+1=cos(x_n)[/mm]
> berechnet werden kann. Berechnen sie die Lösung auf 6
> Dezimalstellen genau.
> Hallo!
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> Also anschaulich ist es klar das cos(x) nur einen Fixpunkt
> hat, das Porblem ist, wie zeig ich es. Der Kontraktionssatz
> garantiert mir einen eindeutigen Fixpunkt unter der
> Bedingung, dass die Funktion F: M->M eine Kontraktion ist.
> Nun ist es doch aber so, dass cos(x) zwar Lipschitzstetig
> mit L=1 ist, aber eben nicht kontrahierend.
Du musst deine Menge $M$ geeignet einschränken, sodass $F$ tatsächlich kontrahierend wird.
Beachte, dass du den Satz nur anwenden kannst, wenn $M$ ein vollständiger metrischer Raum ist, also insbesondere abgeschlossen.
> Das zweite was mich wundert ist, das ich den Fixpunkt auf 6
> Dezimalen genau berechnen soll, doch wie soll ich das
> machen? Ohne den Fixpunkt zu kennen, kann ich doch auch
> keine Fehlerabschätzung machen, oder?
Doch. Im Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes schätzt man den Fehler durch eine geometrische Reihe ab.
Die Abschätzung lautet:
[mm] $|x_n-\xi|\le|x_0-x_1|\cdot\frac{L^n}{1-L}$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mo 03.11.2008 | | Autor: | dasZamomin |
> Du musst deine Menge [mm]M[/mm] geeignet einschränken, sodass [mm]F[/mm]
> tatsächlich kontrahierend wird.
> Beachte, dass du den Satz nur anwenden kannst, wenn [mm]M[/mm] ein
> vollständiger metrischer Raum ist, also insbesondere
> abgeschlossen.
Ich hab daran gedacht es einzuschränken, aber die Sache ist ja die, dass ich es für ganz [mm] \IR [/mm] zeigen soll und damit kommt eine Einschränkung nicht mehr in Frage. Würde es nicht reichen zu zeigen das cos(x) und die Mediane nur einen Schnittpunkt haben?
Und was die Fehlerabschätzung angeht, die kann ich auch nicht mehr verwenden, da ich es eben für ganz [mm] \IR [/mm] zeigen muss und die Funktion dann nicht kontrahierend ist.
Gurß.
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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Gleichung cos(x)=x auf $ [mm] \IR [/mm] $ genau eine Lösung hat, die mit der Fixpunktiteration $ [mm] x_n+1=cos(x_n) [/mm] $ berechnet werden kann. Berechnen sie die Lösung auf 6 Dezimalstellen genau. |
Hallo nochmal!
Das problem ist das man da nichts einschränken kann, denn man soll es ja für ganz [mm] \IR [/mm] zeigen und auf ganz [mm] \IR [/mm] ist cos(x) eben nicht kontrahierend. Ergo lässt sich da nichts mit dem Banachschen Fixpunktsatz machen. Würde es nicht genügen zu zeigen das die Mediane und die Funktion nur einen Schnittpunkt haben können?
Ein Problem das sich daraus ergibt ist natürlich das man dann auch nicht die Fehlerabschätzung anwenden kann.
Wäre dankbar für Vorschläge,
Gruß
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Weil |cos(x)| [mm] \le [/mm] 1 für alle [mm] x\in \IR, [/mm] ergibt sich
für allfällige Lösungen der Gleichung cos(x)=x
die natürliche Einschränkung [mm] |x|\le [/mm] 1 !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mo 03.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Ähm, es ist doch [mm] $-1\le\cos x\le [/mm] 1$ für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] also muss die Lösung der Gleichung [mm] $\cos [/mm] x=x$ ja irgendwo in $[-1,1]$ liegen... ich verstehe also nicht was du mit dem "Ich darf es nicht einschränken, weil ich ganz [mm] $\IR$ [/mm] betrachten muss" eigentlich willst.
Gruß, Robert
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