Fitting einer Kugel Punktwolke < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Do 19.03.2009 | | Autor: | wumanchu |
Hallo,
ich arbeite in Australien und kann daher auf meine Bücher schwer zurückgreifen. In eine Punktwolke möchte ich eine Kugel fitten (least squares) und zwar ohne Zwänge oder Vorgaben. Als Ergebnis soll das Zentrum der Sphäre in x,y,z sowie der Radius ausgegeben werden.
f = ax + by + cz - r ist der funktionale Zusammenhang.
Die A-Matrix sieht nach der Linearisierung wie folgt aus:
x1 y1 z1 -1
...
xn yn zn -1
Die Gewichtsmatrix P ist gleich der Einheitsmatrix weshalb sich die Normalmatrix N (weiß nicht mehr genau wie die heißt) aus
N = A transponiert mal A
ergibt. Ich habe nun leider nicht die geringste Ahnung wie es weiter gehen soll. Es gab da noch einen Ergebnisvektor x und einen Vektor, in dem die Verbesserungen aufgeführt waren.
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
viele Grüße aus Perth
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich hoffe dieses hier hilft dir weiter:
Normalgleichungsmatrix:
N = [mm] A^T [/mm] * P * A
Q = N^-1
n-Vektor:
n = [mm] A^T [/mm] * P * l
Vektor der Unbekannten:
x = N^-1 * n
Verbesserungsvektor:
v = A * x - l
Ausgleichungsprobe:
[mm] A^T [/mm] * P * v = 0
Vielleicht kannst du mir ja auch helfen? Ich bearbeite gerade theoretisch Ausgleichungen von Ebene, Kugel, Zylinder, Kegel und Torus, die sich bestmöglich an die gegeben Punktwolke von n Punkten annähern sollen. Scheinbar kennst du dich ja da auch etwas aus.
Brauche einfach eine Bestätigung für meine Vermutung, dass ich den Mittelwert (oder auch Schwerpunkt) bei einer Kugel errechne und dieser dann sozusagen die Näherungswerte für den Kugelmittelpunkt ergeben. Danach kann ich ja mit der Gleichung
[mm] r^2 [/mm] = [mm] (x_i -x_m)^2 [/mm] + [mm] (y_i -y_m)^2 [/mm] + [mm] (z_i [/mm] - [mm] z_m)^2
[/mm]
den Radius r zu jedem Punkt rechnen und diesen ebenfalls mitteln. Danach kann ich die Ausgleichung durchführen. Ist das wirklich so? Habe in meiner Literatur leider keinen vernüftigen Ansatz gefunden. Ich hoffe, du kannst mir helfen.
Oder hast du vielleicht ne Ahnung, wo ich Infos dazu finden kann? Wäre nämlich sehr schön, wenn ich zu den anderen Elementen auch noch ein paar Infos bekommen könnte, das Material, was ich habe, ist sehr dünn.
Ansonsten viel Erfolg bei deiner Kugelausgleichung 
Gruß Blümchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:46 Do 26.03.2009 | | Autor: | wumanchu |
Hallo Blümchen,
vielen Dank für Deine Antwort. Die Formeln habe ich größtenteils widerentdecken können. Mein Problem ist aber das füllen des l vektors mit Beobachtungen. Der Vektor ist ja traditionell ein Vektor (oho!), allerdings habe ich ja dreidimensionale beobachtungen, die ich in die Ausgleichung einbringen möchte.
Hast Du eine Ahnung wie ich die da rein kriege? Ansonsten sollte der Käse nämlich gegessen sein, da ich keine Gewichtsmatrix einführe.
Entschuldige bitte meine späte Antwort, ich weiss noch nicht ganz genau wie das hier so alles funzt.
liebe Grüße aus Kardinya
Daniel
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Hallo, wollte noch mal auf deine Frage eingehen, falls du das noch brauchst.
Also du hast auch Näherungswerte für M und r eingeführt? Weiß jetzt nicht, ob du das schon geschrieben hattest. Dann könntest du doch folgende Rechnung machen:
[mm] d_{i}= \wurzel{(x_{i}-x_{m})^2+(y_{i}-y_{m})^2+(z_{i}-z_{m})^2} [/mm] -r
Danach könntest du den l-Vektor wie folgt besetzen:
l = [mm] \vektor{d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ :}
[/mm]
Das wäre meine Idee. Gewichtsmatrix kann doch auch Einheitsmatrix sein, wenn die Beobachtungen gleichgenau sind.
Ich hoffe, es hilft dir.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Do 26.03.2009 | | Autor: | wumanchu |
"Brauche einfach eine Bestätigung für meine Vermutung, dass ich den Mittelwert (oder auch Schwerpunkt) bei einer Kugel errechne und dieser dann sozusagen die Näherungswerte für den Kugelmittelpunkt ergeben. Danach kann ich ja mit der Gleichung
= + + -
den Radius r zu jedem Punkt rechnen und diesen ebenfalls mitteln. Danach kann ich die Ausgleichung durchführen. Ist das wirklich so? "
Nun zu Deiner Frage:
Du möchtest über alle Punkte das arithmetische Mittel bilden? Handelt es sich um synthetische Punkte oder um gemessene Punkte (nur aus Interesse)? I.d.R. solltest natürlich diesen Wert als Näherung einführen können, allerdings wird diese Näherung umso besser, je "kugelförmiger" die Punkte um Dein Zentrum verteilt sind. In der Praxis wird bei scannenden Prozessen häufig nur ein Teil der OBerfläche erfasst wodurch der Algorithmus mehr Iterationen durchlaufen muss.
Du studierst wohl Geodäsie oder so ähnlich? Ich würde mich freuen wenn Du mich über e-mail kontaktieren würdest:
http://www.cage.curtin.edu.au/~khbae/
gehe auf diese Seite, drücke Steuerung+ F und suche nach dem String Daniel. Da findest meine Dienstadresse. Meine private gebe ich Dir dann durch.
Ist das für Deine Diplomarbeit? Ich glaube eine Doktorarbeit gesehen zu haben bei der um die Ausgleichung von geometrischen primitiven geht.
Ich habe jetzt eine digital vorliegen, bei der die Kugel behalndelt wird, allerdings wird die A-Matrix in zwei Teile aufgesplittet und das raff ich nicht.
Liebe Grüße und besten Dank
Daniel
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Hallo Daniel,
schön, dass du mir geantwortet hast...ich habs leider erst jetzt gemerkt. Dachte immer, mir würde ne Mail zugeschickt, wenn jemand bzw. du antwortest. War wohl doch nicht so. Aber es ist ja noch nicht zu spät.
Ja es ist für meine Bachelorarbeit und ich bin kurz vorm verzweifeln. Die Zeit drängt und ich muss noch den ganzen Ausgleichungskram verstehen und schreiben. Komme nicht sonderlich vorwärts, was den Druck erhöht.
Übrings, dass mit der Mail schreiben habe ich versucht, allerdings scheitere ich schon daran, dass ich den Link (Mr Daniel Wujanz) nicht öffnen kann, deshalb über diesen Weg. Im Forum bin ich auch erst neu, und kenne mich deshalb auch noch nicht so gut aus.
Übrings, wenn du die Doktorarbeit noch irgendwie wieder finden solltest bzw. dir irgendwie in den Sinn kommt, wie sie heißt, immer her damit
So, dann will ich mich mal weiter kümmern, um meine Arbeit. Arrrrggg
Lieben Gruß
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