Finden komplexer Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:00 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Eine komplexe Zahl heißt primitive achte Einheitswurzel ,wenn gilt [mm] w^4=-1
[/mm]
Finden sie Zahlen [mm] a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] , [mm] a_3 [/mm] , [mm] a_4 [/mm] , sodass gilt
[mm] \bruch{1}{z^4+1}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_1}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4} [/mm] |
Hi Leute.
Ich habe im moment leider keine Ahnung wie ich daran gehen soll. Am anfang habe ich es mit aufprobieren versucht, was ich aber sehr schnell aufgegeben habe.
Diese beiden Aufgaben von der Nummer habe ich schon gelöst.
1) Aus einem Bild können Real- und Imaginärteil der primitiven achten Einheitswurzeln [mm] z_1 z_2 z_3 z_4 [/mm] abgelesen werden. Geben sie diese an.
2) Zeigen Sie:
[mm] z^4+1 [/mm] = p(z)*q(z) wenn p(z)= [mm] (z-z_1)(z-z_2) [/mm] und [mm] q(z)=(z-z_3)(z-z_4)
[/mm]
Mein Problem ist , dass ich im Nenner die ganzen Einheitswurzeln stehen habe. Habe auch versucht auf eine Form wie in 2) zu kommen. Hat aber auch nicht geklappt bei mir.
Habt ihr eine Idee wie ich vorgehen könnte ?
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Eine komplexe Zahl heißt primitive achte Einheitswurzel
> ,wenn gilt [mm]w^4=-1[/mm]
>
> Finden sie Zahlen [mm]a_1[/mm] , [mm]a_2[/mm] , [mm]a_3[/mm] , [mm]a_4[/mm] , sodass gilt
>
> [mm]\bruch{1}{z^4+1}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_1}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4}[/mm]
Es soll wohl
[mm]\bruch{1}{z^4+1}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_2}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4}[/mm]
lauten.
> Hi Leute.
>
> Ich habe im moment leider keine Ahnung wie ich daran gehen
> soll. Am anfang habe ich es mit aufprobieren versucht, was
> ich aber sehr schnell aufgegeben habe.
>
>
> Diese beiden Aufgaben von der Nummer habe ich schon
> gelöst.
>
> 1) Aus einem Bild können Real- und Imaginärteil der
> primitiven achten Einheitswurzeln [mm]z_1 z_2 z_3 z_4[/mm] abgelesen
> werden. Geben sie diese an.
>
> 2) Zeigen Sie:
> [mm]z^4+1[/mm] = p(z)*q(z) wenn p(z)= [mm](z-z_1)(z-z_2)[/mm] und
> [mm]q(z)=(z-z_3)(z-z_4)[/mm]
>
> Mein Problem ist , dass ich im Nenner die ganzen
> Einheitswurzeln stehen habe. Habe auch versucht auf eine
> Form wie in 2) zu kommen. Hat aber auch nicht geklappt bei
> mir.
>
> Habt ihr eine Idee wie ich vorgehen könnte ?
Also: die Zahlen [mm] z_1, [/mm] ..., [mm] z_4 [/mm] hasz Du und Du weißt:
[mm] $z^4+1= (z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4) [/mm] $
Dann machst Du den Ansatz:
[mm]\bruch{1}{(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_2}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4}[/mm]
Multipliziere mit [mm] (z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4) [/mm] durch und bestimme die gesuchtenZahlen [mm] a_1, [/mm] .., [mm] a_4
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank für den Hinweis. Ist ja auch eigentlich ganz logisch dieser Schritt:
$ [mm] \bruch{1}{(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_2}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4} [/mm] $
Nach dem Ausmultipizieren erhalte ich nun
1 = [mm] a_1(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)+a_2(z-z_1)(z-z_3)(z-z_4)+a_3(z-z_1)(z-z_2) (z-z_4)+a_4(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)
[/mm]
Nun bin ich wieder an dem Punkt, wo ich anfange zu Raten und rumzuprobiren. Bekomme aber keine Lösung expliziet für die 4 Unbekannten raus.
Eigentlich müsste diese Gleichung doch auch einen 3 Dimensionalen komplexen Vektorraum aufsapnnen oder ? Und somit müsste es ja unendlich viele Lösungen geben ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für den Hinweis. Ist ja auch eigentlich ganz
> logisch dieser Schritt:
>
> [mm]\bruch{1}{(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_2}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4}[/mm]
>
> Nach dem Ausmultipizieren erhalte ich nun
>
> 1 = [mm]a_1(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)+a_2(z-z_1)(z-z_3)(z-z_4)+a_3(z-z_1)(z-z_2) (z-z_4)+a_4(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)[/mm]
>
> Nun bin ich wieder an dem Punkt, wo ich anfange zu Raten
> und rumzuprobiren. Bekomme aber keine Lösung expliziet
> für die 4 Unbekannten raus.
Setze in
1 = $ [mm] a_1(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)+a_2(z-z_1)(z-z_3)(z-z_4)+a_3(z-z_1)(z-z_2) (z-z_4)+a_4(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3) [/mm] $
der Reihe nach für z die Zahlen [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] und [mm] z_4 [/mm] ein. Dann erhälst Du etwas brauchbares (versprochen !)
FRED
>
> Eigentlich müsste diese Gleichung doch auch einen 3
> Dimensionalen komplexen Vektorraum aufsapnnen oder ? Und
> somit müsste es ja unendlich viele Lösungen geben ?
>
> Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank.
Habe nach und nach [mm] z_1 [/mm] bis [mm] z_2 [/mm] eingesetzt und festgestellt, dass jeweils 3 Terme wegfallen und erhalte so:
[mm] a_1=\bruch{1}{(z_1-z_2)(z_1-z_3)(z_1-z_4)}
[/mm]
und ähnliche ausdrücke wenn ich z = [mm] z_i [/mm] i=2,3,4 setze.
Was mir aber noch nicht ganz klar ist, warum darf ich das z erstzen ? Ich habe es immer als konstante angesehen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Die gleichung
$ [mm] \bruch{1}{(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)}=\bruch{a_1}{z-z_1}+\bruch{a_2}{z-z_2}+\bruch{a_3}{z-z_3}+\bruch{a_4}{z-z_4} [/mm] $
gilt für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] \ $ [mm] \{z_1, z_2, z_3, z_4 \}$
[/mm]
Damit gilt
(*)1 = $ [mm] a_1(z-z_2) (z-z_3)(z-z_4)+a_2(z-z_1)(z-z_3)(z-z_4)+a_3(z-z_1)(z-z_2) (z-z_4)+a_4(z-z_1)(z-z_2) (z-z_3) [/mm] $
ebenfalls für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] \ $ [mm] \{z_1, z_2, z_3, z_4 \}$.
[/mm]
In (*) lasse mal z [mm] \to z_1 [/mm] gehen, dann erhälst Du
$1 = [mm] a_1(z_1-z_2) (z_1-z_3)(z_1-z_4)$
[/mm]
FRED
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