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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 So 13.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei [mm]h: \IR \to \IR[/mm] stetig, [mm]h(x)>0 \forall x \in \IR[/mm]. und [mm] \integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{dy}{h(y)}}[/mm] divergiere.
Zeigen Sie, dass für jedes AWP [mm]y_0 \in \IR[/mm] das Anfangswertproblem (AWP) [mm]y'=h(y) , y(0)=y_0[/mm] eine auf [mm][0, \infty)[/mm] erklärte Lsg. [mm]\phi[/mm] besitzt und dass diese Lsg unbeschränkt ist. |
Hallo ihr's
ich mal wieder, und ich habe ihr bei der Aufgabe keinen Ansatz. Und auch keine Idee mit was ich da anfangen / drangehen könnte? Hat jemand vielleicht einen Ansatz oder tipp? Wäre echt klasse.
Vielen Dank im voraus
LG
Elbi
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Hallo Elbi,
> Es sei [mm]h: \IR \to \IR[/mm] stetig, [mm]h(x)>0 \forall x \in \IR[/mm].
> und [mm]\integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{dy}{h(y)}}[/mm] divergiere.
> Zeigen Sie, dass für jedes AWP [mm]y_0 \in \IR[/mm] das
> Anfangswertproblem (AWP) [mm]y'=h(y) , y(0)=y_0[/mm] eine auf [mm][0, \infty)[/mm]
> erklärte Lsg. [mm]\phi[/mm] besitzt und dass diese Lsg unbeschränkt
> ist.
du kennst doch die methode der trennung der variablen, oder?
Die Dgl. $y'=h(y)$ ist eine Gleichung mit getrennten Variablen und insofern relativ leicht zu behandeln.
Die Lösung $y=y(x)$ der Dgl. ist durch folgende gleichung definiert
[mm] $\int_{y_0}^y \frac{dt}{h(t)}=\int_{x_0}^x dt=\int_{0}^x [/mm] dt=x$
Das erste Integral ist eine Funktion in $y$, man kann also schreiben:
$F(y)=x$ mit
[mm] $F(y)=\int_{y_0}^y \frac{dt}{h(t)}$
[/mm]
Wenn F (was ja bekanntlich die stammfunktion von 1/h ist) das Intervall [mm] $[y_0;\infty]$ [/mm] bijektiv auf [mm] $[0;\infty]$ [/mm] abbildet, bist du fertig, denn dann kannst Du mittels
[mm] $y=F^{-1}(x)$
[/mm]
die Lösung auf [mm] $[0;\infty]$ [/mm] definieren. du musst natürlich auch noch ein wenig argumentieren, dass F überhaupt wohldefiniert ist.
Da F kompakte mengen auf kompakte mengen abbildet, muss die lösung auch unbeschränkt sein (etwas abgekürzt, musst du dir selber klarmachen).
Gruß
Matthias
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