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| Aufgabe | Betracjte die Folge der Fibonacci Zahlen.
Zeige, dass [mm] f_{n}-4 [/mm] nie durch 8 teilbar ist. |
Hi zusammen,
Folgende Aufgabe macht mir gerade das Leben schwer...
Also ich habe mir schon einiges überlegt, komme aber einfach nicht weiter... Nun, wie beweist man so eine Aussage?
Dachte mal kurzzeitig daran, dass sich evt eine Regelmässigkrit zeigen sollte (in welche Äquivalenzklassen die Fibonacci Zahlen fallen) und dass ich an Hand dieser auf die Beh. schliessen kann. Nur habe ich eine solche nicht erkannt.
Dann dachte ich an einen Induktonsbeweis, nur bin ich auch da etwas überfordert.. Also kurz und gut, ich weiss nicht mehr wie ich die Sache anpacken könnte.
Wäre sehr dankbar um Tipps!!!
Vielen lieben Dank für euren Einsatz und Interesse!
Gute Nacht, Grenzwert
p.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 24.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Also, du kannst diese Behauptung durch vollständige Induktion zeigen.
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Vielen Dank für die Antwort, habe aber trotzdem nochmals eine kleine Rückfrage.. :s
Also bei Induktionsschritt:
[mm] f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} [/mm] nun weiss ich (Ann.), dass [mm] f_{n-1}-4 [/mm] nicht durch 8 teilbar ist. [mm] f_{n-2}-4 [/mm] demnach auch nicht.. Aber wie mache ich das mit der Summe? muss ja nicht heissen, dass für die Summe zweier Zahlen, für welche die behauptung gilt auch wieder die Behauptung gilt..
Oder muss ich die Fibonaccizahlen in einer anderen Fomr aufschreiben, um das zu sehen?
Vielen Dank, Grenzwert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Do 24.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Also, du hast die Ann. [mm]f_n-4[/mm] ist nicht durch 8 teilbar.
[mm]f_n -4 = f_{n-1} + f_{n-2} - 4[/mm]
d.h. [mm] f_{n-1} [/mm] und [mm] f_{n-2} [/mm] ist nicht durch 8 teilbar.
Jetzt n --> n+1:
[mm] f_{n+1} [/mm] -4 = [mm] f_n [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] - 4
nach Induktionsvorr. ist [mm] f_n [/mm] nicht durch 8 teilbar und wie gerade gesehen [mm] f_{n-1} [/mm] auch nicht. Somit ist [mm] f_{n+1} -4 [/mm] auch nicht durch 8 teilbar.
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Hi..
Also scheint mir alles recht logisch, nur leuchtet mir folgende Schlussfolgerung nicht ein:
[mm] f_{n}-4=f_{n-1}+f_{n-2}-4
[/mm]
und nun folgerst du, dass [mm] f_{n-1} [/mm] und [mm] f_{n-2} [/mm] nicht durch 8 teilbar sind.. Wieso das? Natürlich ist jeweils [mm] f_{n-1}-4 [/mm] und [mm] f_{n-2}-4 [/mm] nicht durch 8 teilbar, aber die Zahlen selbst?
Wenn ich da z.B an
[mm] f_{7}-4=f_{6}+f{5}-4 [/mm] denke:
klar ist 13-4 nicht durch 8 teilbar, aber [mm] f_{6} [/mm] alleine ist ja 8 und ist demnach auch durch 8 teilbar..
Oder wieso kommst du auf die Schlussfolgerung?
Vielen herzlichen Dank für die Mühe..
Grenzwert
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 06:44 Fr 25.05.2007 | | Autor: | uwe-b |
Wenn ich die Annahme mache, dass [mm] f_n [/mm] - 4 nicht durch 8 teilbar ist, dass ist auch die Summe [mm] (f_{n-1} [/mm] + [mm] f_{n-2} [/mm] - 4) nicht durch 8 teilbar. Dies heißt, dass die einzelnen Summanden nicht durch 8 teilbar sind, also
[mm] f_{n-1} [/mm] nicht durch 8 teilbar und
[mm] f_{n-2} [/mm] nicht durch 8 teilbar.
Nun betrachte n --> n+1
[mm] f_{n+1} [/mm] -4 = [mm] f_n [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] - 4
[mm] f_n [/mm] ist nach Induktionsvor. nicht durch 8 teilbar, und [mm] f_{n-1} [/mm] kann auch nicht durch 8 teilbar sein (s.o.) also ist [mm] f_{n+1} [/mm] nicht durch 8 teil.
Nach v. I . ist nun [mm] f_n [/mm] - 4 nicht durch 8 teilbar.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:54 Fr 25.05.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Wenn ich die Annahme mache, dass [mm]f_n[/mm] - 4 nicht durch 8
> teilbar ist, ist auch die Summe [mm](f_{n-1}[/mm] + [mm]f_{n-2}[/mm] -
> 4) nicht durch 8 teilbar.
Hallo,
soweit kann ich noch folgen.
> Dies heißt, dass die einzelnen
> Summanden nicht durch 8 teilbar sind,
Dem folge ich nur soweit: Es können nicht alle der Summanden gleichzeitug durch 8 teilbar sein.
also
>
> [mm]f_{n-1}[/mm] nicht durch 8 teilbar und
> [mm]f_{n-2}[/mm] nicht durch 8 teilbar.
Jetzt folge ich nicht mehr.
Wenn [mm] f_{n-1} [/mm] durch 8 teilbar ist, und [mm] f_{n-2} [/mm] z.B. den Rest 7 läßt,
ist [mm] f_{n-1}+f_{n-2}-4 [/mm] nicht durch 8 teilbar.
> [mm]f_n[/mm] ist nach Induktionsvor. nicht durch 8 teilbar,
Davon sagt die Induktionsvoraussetzung nichts. Sie sagt, daß [mm] f_n-4 [/mm] nicht durch 8 teilbar ist.
(Daß [mm] f_n [/mm] nicht durch 8 teilbar ist, wäre auch falsch: die erste durch 8 teilbare Fibonacci-Zahl ist die 8.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich würde die Sache anders angehen als von uwe-b vorgeschlagen.
Ich würde [mm] g_n:=(f_n-4) [/mm] modulo 8 betrachten.
Diese Folge ist periodisch mit der Periodenlänge 12.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Grenzwert |
Vielen herzlichen Dank für euren Einsatz..
Wir hatten heute schon so was wie ne Vorbesprechung (oder auch Tipps) genannt.. :p) der erwähnten Aufgabe und Induktion wurde nicht angesprochen (obwohl ich das eigentlich auch eine elegante Lösung gefunden hätte, aber evt klappt das ja wirklich nicht.. ?)
Vielen Dank Angela, der Dozent gab uns den gleichen Tipp, wie du hier erwähnt hast mit der Periodenlänge von [mm] g_{n} [/mm] zu arbeiten...
Also nochmals Danke! Ihr habt mir sehr geholfen!!
Liebe Grüsse und schöne Pfingsten, Grenzwert
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