Fibonacci-Zahlen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Behauptung: Wenn man 2 benachbarte Fibonacci Zahlen quadriert und dann addiert erhält man eine weitere der Folge. Z.B wenn man die 4. und 5. benutzt erhält man die 9. da 4+5. Also [mm] a_{n}+a_{n+1}=a_{2n+1} [/mm] |
Ich habe dies jetzt schon in die allgemeine Formel für Fibonacci Zahlen ( http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/Image33.gif ) eingesetzt und weitergerechnet und bin nun zu diesem Punkt gelangt:
[mm] \bruch{1}{5}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n+2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n+2})
[/mm]
Ich bitte sie um Hilfe, Tips und Lösungen. Ich bin dankbar für alles was auf die schnelle Möglich ist :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Behauptung:
Hallo! Einen schönen guten Morgen!
Ein kleiner Gruß ist hier üblich...
Ich erlaube mir, zunächst daraufhinzuweisen, daß "Beweis" nichts mit der Farbe "weiß" zu tun hat. Ich versetze Deine Überschrift mal in einen Zustand, welcher von Grammatik und Rechtschreibung her erträglich ist, okay?
> Wenn man 2 benachbarte Fibonacci Zahlen
> quadriert und dann addiert erhält man eine weitere der
> Folge.
Richtig.
> Z.B wenn man die 4. und 5. benutzt erhält man die 9.
Nein, das stimmt nicht. Wenn man die 4. und 5. Fibonaccizahl addiert, erhält man die 6.,also
[mm] a_n+a_{n+1}=a_{n+2}.
[/mm]
EDIT: ich hatte leider das "quadriert" übersehen. Es gilt [mm] a_n^{\red{2}}+a_{n+1}^{\red{2}}=a_{2n+1}
[/mm]
> da 4+5. Also [mm]a_{n}+a_{n+1}=a_{2n+1}[/mm]
> Ich habe dies jetzt schon in die allgemeine Formel für
> Fibonacci Zahlen (
> http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/Image33.gif )
> eingesetzt
Ich reime mir mal zusamen, daß Du eine Facharbeit schriebst.
In dieser hast Du definiert, daß die n-te (n=0,1,2,...) Fibonaccizahl [mm] a_n [/mm] die Zahl
[mm] a_n= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right]
[/mm]
ist.
> und weitergerechnet und bin nun zu diesem Punkt
> gelangt:
>
> [mm]\bruch{1}{5}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n+2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n+2})[/mm]
Mir wäre wohler, Du würdest den Anfang Deiner Rechnung auch zeigen.
Ich würde mich gerne vergewissern, ob Obiges stimt, bevor ich damit weiterrechne.
Du mußt ja eine Gleichungskette
[mm] (\frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right])+(\frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^{n+1} \right])=...=...=...=...=...
[/mm]
[mm] =\frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^{n+2} - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^{n+2} \right]
[/mm]
aufstellen.
LG Angela
>
> Ich bitte sie um Hilfe, Tips und Lösungen. Ich bin dankbar
> für alles was auf die schnelle Möglich ist :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Behauptung: Wenn man 2 benachbarte Fibonacci Zahlen
> quadriert und dann addiert erhält man eine weitere der
> Folge. Z.B wenn man die 4. und 5. benutzt erhält man die
> 9. da 4+5. Also [mm]a_{n}+a_{n+1}=a_{2n+1}[/mm]
???????
Da oben war doch von "quadrieren" die Rede , oder nicht ?
In der Tat gilt für die Fibonacci - Zahlen [mm] (a_n):
[/mm]
[mm] $a_{2n+1} [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + [mm] a_{n+1}^2.$
[/mm]
Sollst Du das zeigen ?
FRED
>
> Ich habe dies jetzt schon in die allgemeine Formel für
> Fibonacci Zahlen (
> http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/Image33.gif )
> eingesetzt und weitergerechnet und bin nun zu diesem Punkt
> gelangt:
>
> [mm]\bruch{1}{5}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n+2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n+2})[/mm]
>
> Ich bitte sie um Hilfe, Tips und Lösungen. Ich bin dankbar
> für alles was auf die schnelle Möglich ist :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
> Behauptung: Wenn man 2 benachbarte Fibonacci Zahlen
> quadriert und dann addiert erhält man eine weitere der
> Folge. Z.B wenn man die 4. und 5. benutzt erhält man die
> 9. da 4+5. Also [mm]a_{n}+a_{n+1}=a_{2n+1}[/mm]
>
> Ich habe dies jetzt schon in die allgemeine Formel für
> Fibonacci Zahlen (
> http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/Image33.gif )
> eingesetzt und weitergerechnet und bin nun zu diesem Punkt
> gelangt:
Hallo,
Du hast
[mm] a_n^2+a_{n+1}^2
[/mm]
>
> =[mm]\bruch{1}{5}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n+2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n+2})[/mm]
=[mm]\bruch{1}{5}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}(1+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2})+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}(1+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2})][/mm]
=[mm]\bruch{1}{5}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{(4+(1+\wurzel{5})^{2})}{4}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{(4+(1-\wurzel{5})^{2})}{4}][/mm]
=[mm]\bruch{1}{5}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{10+2\wurzel{5}}{4}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{10-2\wurzel{5}}{4}][/mm]
=[mm]\bruch{1}{5}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{5+\wurzel{5}}{2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{5-\wurzel{5}}{2}][/mm]
=[mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{5+\wurzel{5}}{2\wurzel{5}}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{5-\wurzel{5}}{2\wurzel{5}}][/mm]
=[mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{\wurzel{5}+1}{2}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{\wurzel{5}-1}{2}][/mm]
[mm] =$\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{1+\wurzel{5}}{2}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n}\bruch{1-\wurzel{5}}{2}]$
[/mm]
[mm] =$\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2n+1}$
[/mm]
[mm] =a_{2n+1}
[/mm]
Ich hoffe, Du kannst folgen. Außer ein bißchen Potenzgesetze, Bruch- und Wurzelrechnen passiert nichts Weltbewegendes.
Ansonsten frag nochmal nach.
Falls ich Dich mit meiner Antwort von zuvor irgendwie aus dem Konzept gebracht habe, entschuldige ich mich vielmals. Zum Glück hat Fred schnell bemerkst, daß Du quadrieren möchtest.
LG Angela
>
> Ich bitte sie um Hilfe, Tips und Lösungen. Ich bin dankbar
> für alles was auf die schnelle Möglich ist :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
|
