Fehlerrechnung die 3. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 25.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Gegeben sei das in der Skizze dargestellte Dreieck mit den Seiten b=5cm, c=8cm und dem Winkel [mm] \alpha=30°. [/mm] Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich nach der Formel [mm] A=\bruch{b*c}{2}*sin\alpha. [/mm] Die gegebenen Größen werden nun wie folgt verändert:
Δb=+2%
Δc=-3%
Δ [mm] \alpha=-1°
[/mm]
a)
Berechnen Sie die exakte Flächenänderung!
b)
Welchen Näherungswert für die Flächenänderung erhält man mit dem totalen Differential? |
Die Exakte Flächenänderung bestimme ich doch einfach über das Einsetzt ,oder ?
und beim Totalen Differentia?
Kann mir da einer helfen ?
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Hallo,
> Gegeben sei das in der Skizze dargestellte Dreieck mit den
> Seiten b=5cm, c=8cm und dem Winkel [mm]\alpha=30°.[/mm] Der
> Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich nach der Formel
> [mm]A=\bruch{b*c}{2}*sin\alpha.[/mm] Die gegebenen Größen werden nun
> wie folgt verändert:
> Δb=+2%
> Δc=-3%
> Δ [mm]\alpha=-1°[/mm]
>
> a)
> Berechnen Sie die exakte Flächenänderung!
>
> b)
> Welchen Näherungswert für die Flächenänderung erhält man
> mit dem totalen Differential?
> Die Exakte Flächenänderung bestimme ich doch einfach über
> das Einsetzt ,oder ?
Ja, richtig. Einmal den Flächeninhalt mit den gegebenen Größen ausrechnen, dann einmal mit den veränderten Größen und dann die Differenz [mm] $\Delta [/mm] A $ bilden.
> und beim Totalen Differentia?
> Kann mir da einer helfen ?
Das totale Differential deiner Funktion ist
$dA = [mm] \bruch{\partial A}{\partial b}* db+\bruch{\partial A}{\partial c}* dc+\bruch{\partial A}{\partial \alpha}*d \alpha$
[/mm]
Für kleine Koordinatenänderungen [mm] $db=\Delta [/mm] b$, [mm] $dc=\Delta [/mm] c$, $d [mm] \alpha [/mm] = [mm] \Delta \alpha$ [/mm] gilt
$dA [mm] \approx \Delta [/mm] A= [mm] \bruch{\partial A}{\partial b}*\Delta b+\bruch{\partial A}{\partial c}*\Delta c+\bruch{\partial A}{\partial \alpha}*\Delta \alpha$
[/mm]
$ [mm] \Delta [/mm] A = [mm] \bruch{c}{2}*sin(\alpha)*\Delta b+\bruch{b}{2}*sin(\alpha)*\Delta c+\bruch{b*c}{2}*cos(\alpha)*\Delta \alpha$
[/mm]
Wenn ich mich recht entsinne, muss man hierbei für [mm] $\Delta [/mm] b$, [mm] $\Delta [/mm] c$, [mm] $\Delta \alpha$ [/mm] die absoluten Fehler einsetzen. Du hast oben aber eine Mischung aus absoluten und relativen Fehlern aufgeführt; daraus berechne erst einmal die absoluten Fehler.
LG, Martinius
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 25.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Ich muss dich noch etwas fragen.
eigentlich werden doch die Fehler immer mit [mm] \pm [/mm] x angegen , aber das ich hier zum zum Beispiel -1° = [mm] \Delta\alpha [/mm] habe , muss ich dann das Vorzeichen beachten?
Und wird dann aus [mm] \Delta [/mm] b = +2% dann (5 [mm] \pm0,1)cm [/mm] oder nur (5 + 0,1)cm ?
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Hallo marc,
> Ich muss dich noch etwas fragen.
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> eigentlich werden doch die Fehler immer mit [mm]\pm[/mm] x angegen ,
> aber das ich hier zum zum Beispiel -1° = [mm]\Delta\alpha[/mm] habe
> , muss ich dann das Vorzeichen beachten?
Es war falsch von mir, den Begriff "Fehler" in dieser Aufgabe zu verwenden. Es ist ja nur von "Veränderungen" die Rede. Also musst Du die Vorzeichen beachten.
> Und wird dann aus [mm]\Delta[/mm] b = +2% dann (5 [mm]\pm0,1)cm[/mm] oder
> nur (5 + 0,1)cm ?
Dein relativer Fehler ist ja
[mm] $\bruch{\Delta b}{b}=+2$%.
[/mm]
Also ist der absolute Fehler [mm] $\Delta [/mm] b = b*(+2/100)=+0,1$. Ebenso bekommt dann deine Veränderung [mm] $\Delta [/mm] A$ ein positives Vorzeichen.
Ich frage mich im Moment nur, ob man den Winkel im Gradmaß oder Bogenmaß einsetzen muss. Ich tendiere eher zum Bogenmaß - bin mir aber nicht sicher.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 25.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Und [mm] \Delta [/mm] c = -3% enspricht ja -0,24 cm
ALso hätte ich dann die Formel:
4 * sin [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] * 0,1 + 2,5 * sin [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] * (-0,24) + 20 * cos [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] * [mm] (-\bruch{\pi}{180})
[/mm]
Soweit richtig ?
P.S.: wenn du willst kannst du dir ja noch ne andere Aufgabe von mir zu dem Thema anschauen.
http://www.matheforum.net/read?t=409730
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Hallo marc,
> Und [mm]\Delta[/mm] c = -3% enspricht ja -0,24 cm
>
> ALso hätte ich dann die Formel:
>
> 4 * sin [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] * 0,1 + 2,5 * sin [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] *
> (-0,24) + 20 * cos [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] * [mm](-\bruch{\pi}{180})[/mm]
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> Soweit richtig ?
>
>
> P.S.: wenn du willst kannst du dir ja noch ne andere
> Aufgabe von mir zu dem Thema anschauen.
> http://www.matheforum.net/read?t=409730
>
Der Winkel ist doch 30°. Also:
[mm] $\Delta [/mm] A = 4 * [mm] sin\left(\bruch{\pi}{6}\right) [/mm] * 0,1 + 2,5 * [mm] sin\left(\bruch{\pi}{6}\right)*(-0,24) [/mm] + 20 * [mm] cos\left(\bruch{\pi}{6}\right)*\left(-\bruch{\pi}{180}\right)$
[/mm]
LG, Martinius
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