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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 13.04.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Fehlerfortpflanzung bei Wellenlänge für Physikpraktikumsversuch. |
Also ich wollte mal fragen ob ich die Formel richtig abgeleitet habe.
Und zwar habe ich folgende Formel um Wellenlängen zu
berechnen.
[mm]\lambda(l,a)=sin\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
Die Partielle Ableitung von [mm]\bruch{a}{l}[/mm] nach l wäre ja
[mm]\bruch{-a}{l^2}[/mm]
Die partielle Ableitung von [mm]\bruch{a}{l}[/mm] nach a:
[mm]\bruch{l}{l^2}=\bruch{1}{l}[/mm]
[mm]arctan(v)'=\bruch{1}{v^2+1}[/mm]
[mm]sin(u)'=cos(u)[/mm]
Ich bin mir jetzt nicht sicher was mit dem g passiert, bleibt das einfach stehen?
also
[mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta l}=\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
und
[mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta a}=\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
und für die Fehlerforpflanzung dann:
[mm]\Delta\lambda=\left (\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta l\right )
+\left(\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta a\right )[/mm]
?
Sieht in meinen Augen richtig aus aber ich bin mir noch was unsicher mit partiellen Ableitungen und Ableitungen generell deswegen wollte ich hier nochmal nachfragen,
Danke schonmal im vorraus für's drüberschauen und beste Grüße,
tedd
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Hallo tedd,
> Fehlerfortpflanzung bei Wellenlänge für
> Physikpraktikumsversuch.
> Also ich wollte mal fragen ob ich die Formel richtig
> abgeleitet habe.
> Und zwar habe ich folgende Formel um Wellenlängen zu
> berechnen.
>
> [mm]\lambda(l,a)=sin\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
>
> Die Partielle Ableitung von [mm]\bruch{a}{l}[/mm] nach l wäre ja
> [mm]\bruch{-a}{l^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die partielle Ableitung von [mm]\bruch{a}{l}[/mm] nach a:
> [mm]\bruch{l}{l^2}=\bruch{1}{l}[/mm]
>
> [mm]arctan(v)'=\bruch{1}{v^2+1}[/mm]
>
> [mm]sin(u)'=cos(u)[/mm]
>
> Ich bin mir jetzt nicht sicher was mit dem g passiert,
> bleibt das einfach stehen?
Ja, das g wird nur mitgeschleppt, ist hier eine Konstante.
>
> also
> [mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta l}=\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
Um den Ausdruck [mm]\bruch{a}{l}[/mm] wolltest Du sicherlich ne Klammer setzen:
[mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta l}=\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta a}=\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
>
Dasselbe gilt hier:
[mm]\bruch{\delta\lambda}{\delta a}=\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g[/mm]
> und für die Fehlerforpflanzung dann:
> [mm]\Delta\lambda=\left (\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta l\right )
+\left(\bruch{1}{1+\bruch{a}{l}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta a\right )[/mm]
>
[mm]\Delta\lambda=\left (\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta l\right )
+\left(\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g*\Delta a\right )[/mm]
Es kann ja sein, dass sich die Fehler gegenseitig aufheben, deshalb:
[mm]\Delta\lambda=\left \vmat{\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{-a}{l^2}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g}*\Delta {l}+\vmat{\bruch{1}{1+\red{\left(}\bruch{a}{l}\red{\right)}^2}*\bruch{1}{l}*cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )*g}*\Delta{a}[/mm]
> ?
> Sieht in meinen Augen richtig aus aber ich bin mir noch
> was unsicher mit partiellen Ableitungen und Ableitungen
> generell deswegen wollte ich hier nochmal nachfragen,
[mm]\cos\left(\arctan\left(\bruch{a}{l}\right)\right)[/mm] läßt sich auch noch anders schreiben.
> Danke schonmal im vorraus für's drüberschauen und beste
> Grüße,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 13.04.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für die Antwort.
Die Klammern wollte ich eigtl machen sind dann aber im latex code irgendwie untergegangen.
Das mit den beträgen wusste ich nicht, danke für den Hinweis.
[mm]cos\left (arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )=\bruch{1}{\sqrt{1+\left(\bruch{a}{l}\right)^2}[/mm]?
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Hallo tedd,
> Danke für die Antwort.
> Die Klammern wollte ich eigtl machen sind dann aber im
> latex code irgendwie untergegangen.
> Das mit den beträgen wusste ich nicht, danke für den
> Hinweis.
>
>
> [mm]cos\left(arctan\left (\bruch{a}{l}\right )\right )=\bruch{1}{\sqrt{1+\left(\bruch{a}{l}\right)^2}[/mm]?
Ja.
Noch weiter vereinfacht:
[mm]cos\left( \ \arctan\left(\ \bruch{a}{l}\ \right) \ \right) =\bruch{1}{\wurzel{1+\left(\bruch{a}{l}\right)^2} }=\bruch{l}{\wurzel{l^{2}+{a}^2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 13.04.2008 | | Autor: | tedd |
Hey MathePower - Vielen Dank für die Hilfe ;)
Betsen Gruß,
tedd
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