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| Aufgabe | Fehlerrechnung
Für den Ersatzwiderstand R von zwei parallelgeschalteten Widerständen R1 und R2 gilt:
R [mm] =\bruch{R1*R2}{R1 + R2}.
[/mm]
Es wurde gemessen R1 = (550 ± 3) und R2 = (150 ± 1) . Berechnen Sie eine Abschätzung für den absoluten und den relativen Fehler von R. |
Hallo,
wie muss an diese aufgabe rangehen? ich weiß dass ich etwas ableiten muss, aber was? bei wikipedia hab ich eine formel gefunden. http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung
was fange ich jetzt aber damit an? da steht z.b. [mm] \frac{\Delta x_i}{x_i} [/mm] relativer Fehler [mm] f_{i} [/mm] der Eingangsgröße [mm] x_{i}
[/mm]
was muss ich aber für [mm] \Delta x_i [/mm] einsetzen und was für [mm] x_{i}?
[/mm]
das ist die erste aufgabe der Art, also mir ist die vorgehensweise noch unklar...
lg
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Hallo,
> Fehlerrechnung
> Für den Ersatzwiderstand R von zwei parallelgeschalteten
> Widerständen R1 und R2 gilt:
> R [mm]=\bruch{R1*R2}{R1 + R2}.[/mm]
> Es wurde gemessen R1 = (550 ±
> 3) und R2 = (150 ± 1) . Berechnen Sie eine Abschätzung für
> den absoluten und den relativen Fehler von R.
> Hallo,
>
> wie muss an diese aufgabe rangehen? ich weiß dass ich etwas
> ableiten muss, aber was? bei wikipedia hab ich eine formel
> gefunden. http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung
>
> was fange ich jetzt aber damit an? da steht z.b.
> [mm]\frac{\Delta x_i}{x_i}[/mm] relativer Fehler [mm]f_{i}[/mm] der
> Eingangsgröße [mm]x_{i}[/mm]
> was muss ich aber für [mm]\Delta x_i[/mm] einsetzen und was für
> [mm]x_{i}?[/mm]
> das ist die erste aufgabe der Art, also mir ist die
> vorgehensweise noch unklar...
> lg
Ich schlage vor, Du nimmst das totale Differential:
[mm] $dR_{gesamt}=\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}*dR_1+\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}*dR_2$
[/mm]
LG, Martinius
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Was bekomme ich dann? absoluten oder relativen fehler?
danke
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Hallo pandabaer,
> Was bekomme ich dann? absoluten oder relativen fehler?
Du bekommst dadurch den absoluten Fehler.
> danke
Gruß
MathePower
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Okay,
und wie bekomme ich den relativen..?
danke
lg
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Hallo pandabaer,
> Okay,
> und wie bekomme ich den relativen..?
Teile den absoluten Fehler [mm]\Delta R[/mm] durch R.
> danke
> lg
Gruß
MathePower
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Hallo nochmal,
ich hab das jetzt mal versucht zu berechnen, aber irgendwie kann das nicht stimmen was ich gemacht habe...
[mm] dR_{gesamt}=\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}dR_1+\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}dR_2 [/mm]
[mm] dR_{gesamt} [/mm] ist der absolute fehler?
[mm] \frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{} [/mm] ist die ableitung nach [mm] R_1, [/mm]
[mm] \frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{} [/mm] die ableitung nach [mm] R_2
[/mm]
[mm] dR_1 [/mm] ist in diesem fall 3 und [mm] dR_2 [/mm] ist 1, oder?
als ergebnis für [mm] dR_{gesamt} [/mm] bekomme ich dann 1,0306
kann das stimmen? müsste nicht eine prozentzahl rauskommen?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 07.06.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo
> ich hab das jetzt mal versucht zu berechnen, aber irgendwie
> kann das nicht stimmen was ich gemacht habe...
> [mm]dR_{gesamt}=\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}dR_1+\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}dR_2[/mm]
>
> [mm]dR_{gesamt}[/mm] ist der absolute fehler?
> [mm]\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}[/mm] ist die
> ableitung nach [mm]R_1,[/mm]
> [mm]\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}[/mm] die
> ableitung nach [mm]R_2[/mm]
> [mm]dR_1[/mm] ist in diesem fall 3 und [mm]dR_2[/mm] ist 1, oder?
> als ergebnis für [mm]dR_{gesamt}[/mm] bekomme ich dann 1,0306
> kann das stimmen? müsste nicht eine prozentzahl
> rauskommen?
> danke
Das wäre der absolute Fehler, um den relativen zu erhalten müsstest du noch druch R teilen, das wurde auch schon gesagt, glaube aber nicht, dass dein Ergebnis stimmt.(habe allerdings auch nicht nachgerechnet), ich schlage vor du postest mal deine Ableitungen. Dann kann man besser kontrollieren.
Ich gebe dir außerdem eine andere Methode hier den Fehlerauszurechnen, die mir einfacherer erscheint:
Bei einem Produkt kann man die relativen Fehler addieren.
Beispiel:
[mm] a=\bruch{b*c}{d}
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] a = [mm] a*(\bruch{\Delta b}{b}+\bruch{\Delta d}{d}+\bruch{\Delta c}{c}) [/mm]
für deinen Fall:
[mm] R=\bruch{R_{1}*R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
[/mm]
jetzt kannst du [mm] R_{1}+R_{2} [/mm] substituieren:
[mm] R_{ersatz}=R_{1}+R_{2} [/mm]
darausfolgt:
[mm] \Delta R_{ersatz}=\Delta R_{1}+\Delta R_{2} [/mm]
weiter:
[mm] R=\bruch{R_{1}*R_{2}}{R_{ersatz}}
[/mm]
[mm] \bruch{\Delta R}{R} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta R_{1}}{R_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta R_{2}}{R_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta R_{ersatz}}{R_{ersatz}}
[/mm]
mit [mm] \bruch{\Delta R_{ersatz}}{R_{ersatz}} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta R_{1}+\Delta R_{2} }{R_{1}+R_{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\Delta R}{R} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta R_{1}}{R_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta R_{2}}{R_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta R_{1}+\Delta R_{2} }{R_{1}+R_{2}}
[/mm]
jetzt nur noch einsetzen und mit *100% nehmen, dann hast deinen relativen Fehler, denn: [mm] \bruch{\Delta R}{R} [/mm] ist ja genau der rel. Fehler
Ich hoffe dieser andere Weg verwirrt dich jetzt nicht total. Ich wollte dir nur zeigen, dass es auch "einfacherer" geht. Ohne ableiten ist ja für die meinsten schöner, obwohl es ne gute "Wiederholung" ist.
Mein Ergebnis lautet:
[mm] \bruch{\Delta R}{R} [/mm] *100%= 1,78% => 2% (Fehler immer auf eine gültige Ziffer)
Bei deinem errechneten absoluten Fehler würde ein relativer Fehler von 0,87% folgen. Poste doch bitte mal deine Ableitungen.
Liebe grüße
xPae
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Puh, ich glaube sowas hab ich schonmal gesehen:), also das mit dem fehler addieren, das mit dem substituieren allerdings nicht...
aber wie bekomme ich damit dann den absoluten fehler? einfach den relativen fehler mal R?
also meine ableitungen waren :
[mm] \frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{} [/mm] = [mm] \bruch{R_2*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{} [/mm] = [mm] \bruch{R_1*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}
[/mm]
gesamt ergibt sich also für
[mm] dR_{gesamt}=\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}dR_1+\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}dR_2 [/mm]
[mm] dR_{gesamt} [/mm] = [mm] \bruch{R_2*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²} [/mm] * 3 [mm] +\bruch{R_1*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²} [/mm] * 1 = [mm] \bruch{(R_1)² + 3(R_2)²}{(R_1 + R_2)2}
[/mm]
und dann muss ich doch einfach die werte einsezten, also für [mm] R_1=550 [/mm] und für [mm] R_2=150
[/mm]
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Hallo,
> Puh, ich glaube sowas hab ich schonmal gesehen:), also das
> mit dem fehler addieren, das mit dem substituieren
> allerdings nicht...
> aber wie bekomme ich damit dann den absoluten fehler?
> einfach den relativen fehler mal R?
> also meine ableitungen waren :
>
> [mm]\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}[/mm] =
> [mm]\bruch{R_2*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}[/mm] =
> [mm]\bruch{R_1*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}[/mm]
>
> gesamt ergibt sich also für
>
> [mm]dR_{gesamt}=\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_1}\cdot{}dR_1+\frac{\partial R_{gesamt}}{\partial R_2}\cdot{}dR_2[/mm]
>
> [mm]dR_{gesamt}[/mm] = [mm]\bruch{R_2*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}[/mm]
> * 3 [mm]+\bruch{R_1*(R_1 + R_2) - R_1*R_2}{(R_1 + R_2)²}[/mm] * 1 =
> [mm]\bruch{(R_1)² + 3(R_2)²}{(R_1 + R_2)2}[/mm]
>
> und dann muss ich doch einfach die werte einsezten, also
> für [mm]R_1=550[/mm] und für [mm]R_2=150[/mm]
Ja.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 07.06.2009 | | Autor: | pandabaer |
Achso:)
ich denke ich hab mich nur vertippt...
absoluter fehler ist 0,755
und relativer 0,0064
ich hoffe diesmal stimmts:)..
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 So 07.06.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Achso:)
> ich denke ich hab mich nur vertippt...
> absoluter fehler ist 0,755
> und relativer 0,0064
> ich hoffe diesmal stimmts:)..
> danke
Ja. Hab' ich auch.
LG, Martinius
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> R [mm]=\bruch{R1*R2}{R1 + R2}.[/mm]
> Es wurde gemessen R1 = (550 ±
> 3) und R2 = (150 ± 1) . Berechnen Sie eine Abschätzung für
> den absoluten und den relativen Fehler von R.
Es ist nach Produkt- und Quotientenregel
[mm] \bruch{\partial R}{\partial R_1}=\bruch{R_2(R_1+R_2)-R_1R_2}{(R_1+R_2)^2}=\bruch{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} [/mm] und
[mm] \bruch{\partial R}{\partial R_2}=\bruch{R_1(R_1+R_2)-R_1R_2}{(R_1+R_2)^2}=\bruch{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}.
[/mm]
Damit erhältst du für das totale Differenzial:
dR [mm] =\bruch{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} dR_1 [/mm] + [mm] \bruch{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} dR_2 =R^2*(\bruch{dR_1}{R_1^2} [/mm] + [mm] \bruch{dR_2}{R_2^2}) [/mm] als absoluten Fehler. Das gibt mit den Zahlen der Aufgaben den Wert 0,755 [mm] \Omega, [/mm] wenn man alles positiv nimmt.
Für den relativen Fehler erhält man
[mm] \bruch{dR}{R} =R*(\bruch{1}{R_1}\bruch{dR_1}{R_1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{R_2}\bruch{dR_2}{R_2})
[/mm]
Schreibt man für den relativen Fehler von R f(R), so gibt das:
[mm] f(R)=R*(\bruch{1}{R_1}f(R_1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{R_2}f(R_2))
[/mm]
mit obigen Zahlen entsprechend 0,0064 = 0,64 %
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