Fehler summierte Simpsonregel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | a) Man zeige, dass für h>0 und beliebigem [mm] x\in[a+h/2,b-h/2] [/mm] mit einem c>0
[mm] \delta(x,h):=|\integral_{x-h/2}^{x+h/2}f(t)dt-\integral_{x-h/2}^{x+h/2}p_2(t)dt|\le max|f^{(4)}(\xi)|*c*h^5
[/mm]
gilt, wobei [mm] p_2 [/mm] das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x-h/2, x, x+h/2 sei.
b)Man bestimme c>0 derart, dass aus
[mm] |f^{(4)}(x)|h(x)^5=c [/mm] folgt [mm] \integral_{0}^{1}h(x)dx=1
[/mm]
und bestimme ein Gitter [mm] \{x_j\}_{j=0}^{N} [/mm] gemäß
[mm] \integral_{0}^{j/N}h(x)dx.
[/mm]
Dies kann genutzt werden um asymptotisch für [mm] N\rightarrow\infty [/mm] die lokalen Fehler der zusammengesetzten Simpsonregel über [0,1] gleichzuverteilen. |
Hi.
Aufgabe a) hab ich noch selber rausbekommen.
Die hab ich nur mal mit reingeschrieben, weil ich dachte die wäre für die b notwendig.
Mein Ergebnis: [mm] \le max|f^{(4)}(\xi)|*\bruch{1}{2880}*h^5
[/mm]
Bei der Aufgabe b weiß ich jetzt überhaupt nix. Man soll hier für jedes x eine Intervallbreite h bestimmen, so dass die Intervallbreiten aufsummiert 1 ergeben. Das c ist dabei eine konstante, die für jedes x gleich ist, also dass immer der gleiche Fehler auftritt. Hat jemand Ideen oder Ansätze?
Vielen Dank schonmal.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Mo 10.12.2007 | | Autor: | laffiche |
Hallöchen Max,
ich muss dieselbe Aufgabe machen und leider steig ich schon aus der a) aus. Kannst du mir da evtl. einen Tip zum Lösungsweg geben?
Liebe Grüße, Sabine
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Geht mir genau so, wie Sabine,
könntest du vlt bitte Tipps zur Lösung von Aufgaben Teil a) geben.
b) finde ich eigentlich relativ einfach, ist eigentlich nur pures Umstellen der Ausgangsformel. So weit ich weiß, brauchst du dort nix einzusetzen, einfach umstellen.
Sieht dann zwar kompliziert aus (mit Quotient und 5.ter Wurzel, aber es reicht zum berechnen)
cu Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mo 10.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Alles klar. Ich poste mal die Aufgabe a).
Gesucht ist der Fehler, der bei Integration des Interpolationspolynomes 2. Grades anstelle der eigentlichen Funktion entsteht. Mit dem Hinweis der gegeben war ist klar, dass man die Simpsonregel anwenden muss, da hier das Polynom [mm] p_2 [/mm] exakt integriert wird. Für das f führen wir eine Taylorentwicklung bis zum 3. Glied im Punkt x durch:
[mm] f(z)=f(x)+f'(x)(z-x)+\bruch{1}{2}f''(x)(z-x)^2+\bruch{1}{6}f'''(x)(z-x)^3+\bruch{1}{24}f^{(4)}(\xi)(z-x)^4
[/mm]
Das kann man jetzt integrieren und zwar hab ich da noch eine Transformation vorgenommen:
[mm] z=x+t\bruch{h}{2}
[/mm]
[mm] z'=\bruch{dz}{dt}=\bruch{h}{2} \Rightarrow dz=\bruch{h}{2}dt
[/mm]
[mm] \integral_{x-h/2}^{x+h/2}f(z)=\integral_{-1}^{1}f(t)\bruch{h}{2}dt
[/mm]
[mm] =\bruch{h}{2}\integral_{-1}^{1}f(x)+\bruch{1}{2}f'(x)t*h+\bruch{1}{8}f''(x)(t*h)^2+\bruch{1}{48}f'''(x)(t*h)^3+\bruch{1}{384}f^{(4)}(\xi)(t*h)^4dt
[/mm]
[mm] =\bruch{h}{2}[f(x)*t+\bruch{1}{24}f''(x)h^2t^3+\bruch{1}{1920}f^{(4)}(\xi)h^4t^5]_{-1}^{1}
[/mm]
Die geraden t-Potenzen habe ich gleich weggelassen, weil die sowieso wegfallen, wenn man die Integrationsgrenzen einsetzt.
insgesamt hab ich jetzt:
[mm] f(x)*t+\bruch{1}{24}f''(x)h^2t^3+\bruch{1}{1920}f^{(4)}(\xi)h^4t^5
[/mm]
Für das Polynom gilt ja [mm] I(p_2)=\bruch{h}{6}(p_2(x-h/2)+4p_2(x)+p_2(x+h/2))
[/mm]
[mm] p_2(x-h/2) [/mm] und [mm] p_2(x+h/2) [/mm] habe ich jetzt auch mithilfe der Taylorentwicklung von f bestimmt, da an diesen beiden Stellen auch interpoliert wird.
Daraus folgt dann für t=-1 und t=1in die Taylorformel eingesetzt
[mm] I(p_2)=\bruch{h}{6}(6f(x)+\bruch{1}{4}f''(x)h^2+\bruch{1}{192}f^{(4)}(\xi)h^4)
[/mm]
Jetzt wird einfach die Differenz von [mm] I(p_2) [/mm] und I(f) betrachtet und da kürzt sich einiges weg. Am Ende steht dann nur noch
[mm] (\bruch{1}{1920}f^{(4)}(\xi_1)-\bruch{1}{1152}f^{(4)}(\xi_2))h^5
[/mm]
[mm] \le\bruch{1}{2880}max|f^{(4)}(\xi_1),f^{(4)}(\xi_2)|h^5\le\bruch{1}{2880}||f^{(4)}||h^5
[/mm]
Genau diese Lösung hab ich auch im Internet irgendwo gefunden, also geh ich davon aus, dass die Rechnung richtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mo 17.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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