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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Do 22.05.2008 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | | Man schätze den Fehler ab, den man begeht, wenn man f(x) = [mm] sin(\bruch{1}{2} [/mm] * x) durch eine Taylor Reihe 5. Grades in a = 0 approximiert für x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}]. [/mm] |
Hallo,
ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und hab hier so meine Probleme.
Unser Dozent meinte, dass wir hier x = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] zu substituieren und dann den Fehler in der Formelsammlung abzulesen.
Das hab ich gemacht und habe hier sin(x) [mm] \approx [/mm] x - [mm] \bruch{x^{3}}{6}. [/mm] Aber jetzt weiß ich nicht weiter... :-( ... was muss ich jetzt tun, um hier nun zur Lösung zu kommen?
Schonmal vielen Dank
UE
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> Man schätze den Fehler ab, den man begeht, wenn man f(x) =
> [mm]sin(\bruch{1}{2}[/mm] * x) durch eine Taylor Reihe 5. Grades in
> a = 0 approximiert für x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\bruch{\pi}{2}].[/mm]
> Hallo,
>
> ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und hab hier so meine
> Probleme.
>
> Unser Dozent meinte, dass wir hier x = [mm]\bruch{x}{2}[/mm] zu
> substituieren und dann den Fehler in der Formelsammlung
> abzulesen.
> Das hab ich gemacht und habe hier sin(x) [mm]\approx[/mm] x -
> [mm]\bruch{x^{3}}{6}.[/mm]
Wenn eine Taylorreihe 5.Grades gefragt ist, brauchst du noch ein
weiteres Glied:
sin(x) [mm]\approx x - \bruch{x^{3}}{6} +\bruch{x^{5}}{120}[/mm]
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter... :-(
> ... was muss ich jetzt tun, um hier nun zur Lösung zu
> kommen?
Jetzt x durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] ersetzen:
[mm]sin(\bruch{x}{2}) \approx \bruch{x}{2} - \bruch{x^{3}}{48} +\bruch{x^{5}}{3840}[/mm]
Für das betrachtete Intervall ist nun vermutlich der Fehler am grössten
am rechten Rand, also für x = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Vergleiche also die Werte von Funktion und Taylorpolynom
an dieser Stelle !
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 22.05.2008 | | Autor: | UE_86 |
Hey, danke für die schnelle Antwort!
Ich hab hier jetzt 0,01370 [mm] \approx [/mm] 0,4823 . Das erscheint mir jetzt allerdings ein wenig arg zu sein der Fehler, oder ist das richtig?
MFG
UE
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> Hey, danke für die schnelle Antwort!
>
> Ich hab hier jetzt 0,01370 [mm]\approx[/mm] 0,4823 . Das erscheint
> mir jetzt allerdings ein wenig arg zu sein der Fehler, oder
> ist das richtig?
Diese Abweichung scheint mir auch sehr krass.
Hast du möglicherweise vergessen, dass x natürlich
im Bogenmass zu interpretieren ist ?
Ich habe die Rechnung jetzt auch gemacht und
komme an der Stelle x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] auf eine
(relative) Abweichung von 0.00513 Prozent.
Gruß al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 23.05.2008 | | Autor: | UE_86 |
Also ich kann mir nicht helfen...ich bekomme immer sehr krasse Abweichung raus!
Mal ganz langsam aufgedrüsselt:
Für das Taylor Polynom 5. Grades habe ich jetzt:
[mm] sin(\bruch{\pi}{2})=\bruch{1}{4}*\pi [/mm] - [mm] \bruch{1}{384}*\pi^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{122880}*\pi^{5} \approx [/mm] 0,70714...
So, [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 1 - hattest Recht, ich hatte gestern nicht im Bogenmaß gerechnet
Also ich brauch hier nicht weiterzumachen, man sieht ja sofort, dass ich irgendwie nicht auf den Fehler von 0,00513 komme.
Was hab ich denn nun falsch gemacht?
Nochmal vielen Dank
UE
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> Also ich kann mir nicht helfen...ich bekomme immer sehr
> krasse Abweichung raus!
> Mal ganz langsam aufgedrüsselt:
>
> Für das Taylor Polynom 5. Grades habe ich jetzt:
> [mm] sin(\bruch{\pi}{ [red]\ 2 [/red]} )=\bruch{1}{4}*\pi [/mm] - [mm]\bruch{1}{384}*\pi^{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{122880}*\pi^{5} \approx[/mm] 0,70714...
Vorsicht, das ist nicht die Näherung für [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] , sondern für [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] !
[mm] sin(\bruch{x}{2}) [/mm] für x = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
>
> So, [mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm] = 1 - hattest Recht, ich hatte
> gestern nicht im Bogenmaß gerechnet
> Was hab ich denn nun falsch gemacht?
Wir brauchen hier nicht [mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm] = 1 , sondern [mm]sin(\bruch{\pi}{4})[/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = 0.707106781...
Bemerkung: Die relative Abweichung habe ich in Prozentausgedrückt.
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | UE_86 |
Ah, na klar ;)
Ganz blöder Fehler...
Alles klar
Nochmal Danke!
UE
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