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Fast-sichere Konvergenz: Zufallsvariablenfolge -> 0
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Fr 27.04.2012
Autor: pablovschby

Aufgabe
Mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] wobei

[mm] X_i [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

sei [mm] Y_n [/mm] := [mm] X_1***X_n [/mm] . Man zeige, dass [mm] E(Y_n) \to \infty [/mm]  konvergiert und [mm] Y_n \to [/mm] 0 fast sicher konvergiert für n [mm] \to \infty [/mm] jeweils.

Hinweis: Nutze Markow-Ungleichung für [mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) [/mm] mit [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm]

[mm] E(X_i)=\bruch{9}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{9}*\bruch{1}{2}=\bruch{85}{72} [/mm]

[mm] E(Y_n)=E(X_1***X_n)=E(X_1)***E(X_n)=(\bruch{85}{72})^n [/mm] , womit dann einfach zu zeigen ist, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E(Y_n) [/mm] = 0 .

Wo ich nicht weiterkomme ist hier:
[mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \bruch{1}{\wurzel(n)}*E(\wurzel(Y_n)) \le_{Schwartz'sche Ungl.} \bruch{1}{\wurzel(n)} [/mm] * [mm] \wurzel(E(Y_n))=\bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2} [/mm]

Meine Idee war dann zu zeigen, dass

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2} [/mm] < [mm] \infty [/mm]

Mit Borel-Cantelli folgte dann, dass [mm] Y_n [/mm] f.s. nach 0 konvergiert. Leider konvergiert diese Summe aber nicht.

Was meint ihr, könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?

Grüsse


        
Bezug
Fast-sichere Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Fr 27.04.2012
Autor: donquijote


> Mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen
> [mm]X_1,[/mm] ..., [mm]X_n[/mm] wobei
>  
> [mm]X_i[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und
> = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> sei [mm]Y_n[/mm] := [mm]X_1***X_n[/mm] . Man zeige, dass [mm]E(Y_n) \to \infty[/mm]  
> konvergiert und [mm]Y_n \to[/mm] 0 fast sicher konvergiert für n
> [mm]\to \infty[/mm] jeweils.
>  
> Hinweis: Nutze Markow-Ungleichung für
> [mm]P(Y_n\ge\bruch{1}{n})[/mm] mit [mm]p=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]E(X_i)=\bruch{9}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{9}*\bruch{1}{2}=\bruch{85}{72}[/mm]
>  
> [mm]E(Y_n)=E(X_1***X_n)=E(X_1)***E(X_n)=(\bruch{85}{72})^n[/mm] ,
> womit dann einfach zu zeigen ist, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} E(Y_n)[/mm] = 0 .
>  
> Wo ich nicht weiterkomme ist hier:
>  [mm]P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \bruch{1}{\wurzel(n)}*E(\wurzel(Y_n)) \le_{Schwartz'sche Ungl.} \bruch{1}{\wurzel(n)}[/mm]
> *
> [mm]\wurzel(E(Y_n))=\bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2}[/mm]
>  
> Meine Idee war dann zu zeigen, dass
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel(n)}*(\bruch{85}{72})^\bruch{n}{2}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>  
> Mit Borel-Cantelli folgte dann, dass [mm]Y_n[/mm] f.s. nach 0
> konvergiert. Leider konvergiert diese Summe aber nicht.
>  
> Was meint ihr, könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
>  
> Grüsse

Mit [mm] \sqrt{Y_n}=\sqrt{X_1}*...*\sqrt{X_n} [/mm] kannst du [mm] E(\wurzel(Y_n)) [/mm] direkt bestimmen.

>  


Bezug
                
Bezug
Fast-sichere Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 So 29.04.2012
Autor: pablovschby

Hallo

Danke für deine Antwort aber genau das habe ich oben gemacht und eine nicht-konvergente Reihe bekommen.

Kann mir vlt. bitte jmd. helfen?


Bezug
                        
Bezug
Fast-sichere Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 So 29.04.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Danke für deine Antwort aber genau das habe ich oben
> gemacht und eine nicht-konvergente Reihe bekommen.

nein, das hast du nicht gemacht!
Du hast [mm] $\sqrt{E(Y_n)}$ [/mm] versucht zu bestimmen. Hier ist aber die Rede von [mm] $E[\sqrt{Y_n}]$ [/mm] und da erhälst du eine konvergente Reihe.

Was ist denn [mm] $E[\sqrt{Y_n}]$? [/mm] Berechne das doch mal.

MFG,
Gono.

Bezug
                                
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Fast-sichere Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 So 29.04.2012
Autor: pablovschby

Hallo

Danke, ja, das habe ich nun verstanden. Probleme aber habe ich beim Aufstellen einer expliziten Formel:

[mm] \sqrt(Y_2)= [/mm]
[mm] \bruch{9}{4} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

[mm] \bruch{1}{9} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \sqrt(Y_3)= [/mm] ...usw.


[mm] \sqrt(Y_i)= [/mm]

[mm] \bruch{9}{2}^i [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2^i} [/mm]
...
[mm] \bruch{1}{3}^i [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2^i} [/mm]


Nun habe ich das bis [mm] \sqrt(Y_5) [/mm] gemacht und auch Regelmässigkeiten festgestellt. Wie aber berechne ich hier eine explizite Formel?

Grüsse

Bezug
                                        
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Fast-sichere Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 So 29.04.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das hat don dir doch bereits beschrieben.
Es gilt:

[mm] $\sqrt{Y_n} [/mm] = [mm] \sqrt{X_1}*\ldots*\sqrt{X_n}$ [/mm]

Sowie:

[mm] $E[\sqrt{Y_n}] [/mm] = [mm] E[\sqrt{X_1}] *\ldots*E[\sqrt{X_n}]$ [/mm]

Was ist nun [mm] $E[\sqrt{X_i}]$ [/mm] ?

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
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Fast-sichere Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 So 29.04.2012
Autor: pablovschby

Hallo

Ja ist denn einfach

[mm] \sqrt(X_i)= \bruch{3}{2} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] mit W. [mm] \bruch{1}{2} \forall [/mm] i

Dann ist [mm] E(\sqrt(X_i))=\bruch{11}{12} \forall [/mm] i

und dementsprechend [mm] E(\sqrt(Y_n)) [/mm] = [mm] (\bruch{11}{12})^n \forall [/mm] n

Ich suchte wohl zu weit... Das ist es schon?

Bezug
                                                        
Bezug
Fast-sichere Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 So 29.04.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\sqrt(X_i)= \bruch{3}{2}[/mm] mit W. [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] mit W. [mm]\bruch{1}{2} \forall[/mm] i
>  
> Dann ist [mm]E(\sqrt(X_i))=\bruch{11}{12} \forall[/mm] i
>  
> und dementsprechend [mm]E(\sqrt(Y_n))[/mm] = [mm](\bruch{11}{12})^n \forall[/mm]
> n

> Ich suchte wohl zu weit... Das ist es schon?

Ja, nun wende noch die Markov-Ungleichung korrekt an und du kommst aufs richtige Ergebnis.
Deine Abschätzung ist nämlich falsch :-)
Die Markov-Ungleichung lautet anders.

MFG,
Gono.

Bezug
                                                                
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Fast-sichere Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Di 01.05.2012
Autor: pablovschby

Danke

[mm] P(Y_n\ge\bruch{1}{n}) \le_{Markow} \wurzel{n}\cdot{}E(\wurzel{Y_n}) =\wurzel{n}*(\bruch{11}{12})^n [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{2}*ln(n)}*e^{n*ln(\bruch{11}{12})} [/mm]

Wie zeigt man nun hier, dass das gegen 0 geht?

Bezug
                                                                        
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Fast-sichere Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Di 01.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

zeigen könnte man das bspw. mit L'Hospital.
Könnte man aber auch selbst drauf kommen......

MFG,
Gono.

Bezug
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