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| Aufgabe | Sind A ein Ring und p [mm] \subseteq [/mm] A ein Primideal, so heißt der Quotientenkörper k(p) := Quot(A/p) der Restklassenkörper von A bei p. Wir fassen diesen stets vermöge der Komposition A [mm] \to [/mm] A/p [mm] \to [/mm] k(p) als A-Algebra auf. Ist f : A [mm] \to [/mm] B eine A-Algebra, so heißt die k(p)-Algebra
k(p) [mm] \to B_{p} [/mm] := k(p) [mm] \otimes_{A} [/mm] B die Faser von f über p.
Berechnen Sie alle Fasern von A := [mm] \IC[X] \to [/mm] B := [mm] \IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X), X [mm] \mapsto [/mm] X. |
Hallo Leute,
in der vorangegangen Teilaufgabe habe ich gezeigt, dass die Primideale p von [mm] \IC[X] [/mm] genau die Hauptideale sind, welche von den normierten Polynomen vom Grad 1 erzeugt werden (zusätzlich dem Nullideal).
Ich muss jetzt also für jedes dieser p das Tensorprodukt k(p) [mm] \otimes_{A} [/mm] B "berechnen".
Ich habe mir gedacht, dass mir der Isomorphismus A/I [mm] \otimes_{A} [/mm] M [mm] \cong [/mm] M/IM (mit A Ring, M A-Modul, I Ideal von A) weiterhelfen kann.
In dem vorliegenden Fall hätte ich dann M = [mm] \IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X), A = [mm] \IC[X] [/mm] und I = p. Wenn man dies einsetzt, kommt man zu den enorm unübersichtlichen Ausdruck [mm] (\IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - [mm] X))/(p\*(\IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X))).
Sieht also nicht so aus, als ob mir das was bringen würde. Oder habe ich hier einfach was übersehen bzw. falsch gemacht?
Wäre nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 27.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind A ein Ring und p [mm]\subseteq[/mm] A ein Primideal, so heißt
> der Quotientenkörper k(p) := Quot(A/p) der
> Restklassenkörper von A bei p. Wir fassen diesen stets
> vermöge der Komposition A [mm]\to[/mm] A/p [mm]\to[/mm] k(p) als A-Algebra
> auf. Ist f : A [mm]\to[/mm] B eine A-Algebra, so heißt die
> k(p)-Algebra
> k(p) [mm]\to B_{p}[/mm] := k(p) [mm]\otimes_{A}[/mm] B die Faser von f über
> p.
>
> Berechnen Sie alle Fasern von A := [mm]\IC[X] \to[/mm] B :=
> [mm]\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] - X), X [mm]\mapsto[/mm] X.
> Hallo Leute,
>
> in der vorangegangen Teilaufgabe habe ich gezeigt, dass die
> Primideale p von [mm]\IC[X][/mm] genau die Hauptideale sind, welche
> von den normierten Polynomen vom Grad 1 erzeugt werden
> (zusätzlich dem Nullideal).
Genau.
Das mit dem Nullring musst du getrennt betrachten, denn dort ist $k(p)$ nicht [mm] $\IC[X]/(p)$, [/mm] sondern gleich [mm] $\IC(X)$ [/mm] (rationaler Funktionenkoerper).
> Ich muss jetzt also für jedes dieser p das Tensorprodukt
> k(p) [mm]\otimes_{A}[/mm] B "berechnen".
>
> Ich habe mir gedacht, dass mir der Isomorphismus A/I
> [mm]\otimes_{A}[/mm] M [mm]\cong[/mm] M/IM (mit A Ring, M A-Modul, I Ideal
> von A) weiterhelfen kann.
>
> In dem vorliegenden Fall hätte ich dann M =
> [mm]\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] - X), A = [mm]\IC[X][/mm] und I = p. Wenn man dies
> einsetzt, kommt man zu den enorm unübersichtlichen
> Ausdruck [mm](\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] - [mm]X))/(p\*(\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] -
> X))).
>
> Sieht also nicht so aus, als ob mir das was bringen würde.
> Oder habe ich hier einfach was übersehen bzw. falsch
> gemacht?
Das Ideal $p [mm] \IC[X,Y]/(Y^2-X)$ [/mm] ist gerade gleich $(p, [mm] Y^2 [/mm] - X) / [mm] (Y^2 [/mm] - X)$. Nach einem der Isomorphiesaetze ist dein obiger Ring also isomorph zu [mm] $\IC[X, [/mm] Y] / (p, [mm] Y^2 [/mm] - X)$.
LG Felix
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Hallo Felix,
erst einmal danke für die hilfreiche Antwort.
Hätte allerdings noch ein paar Fragen:
Kann man im Falle k(0) = [mm] \IC(X) [/mm] den Ausdruck [mm] \IC(X) \otimes_{\IC[X]} \IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X) mittels Isomorphien überhaupt noch vereinfachen?
Das mit der Anwendung des ersten Isomorphiesatzes verstehe ich, allerdings sehe ich nicht, wieso [mm] p\IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X) [mm] \cong (p,Y^{2} [/mm] - [mm] X)/(Y^{2} [/mm] - X) gilt.
Was mich noch interessieren würde: Kann man den Ausdruck [mm] \IC[X,Y]/(p,Y^{2} [/mm] - X) zu [mm] (\IC[X,Y]/(Y^{2} [/mm] - X))/p "umformen"?
Wenn ja, wieso kann man das dann?
Tut mir Leid, sind ziemlich viele Fragen, hab mit solchen Sachen leider noch nicht soviel Erfahrung. Wär super, wenn du Zeit und Lust finden würdest, darauf einzugehen.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 28.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> erst einmal danke für die hilfreiche Antwort.
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> Hätte allerdings noch ein paar Fragen:
>
> Kann man im Falle k(0) = [mm]\IC(X)[/mm] den Ausdruck [mm]\IC(X) \otimes_{\IC[X]} \IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm]
> - X) mittels Isomorphien überhaupt noch vereinfachen?
Ja. Das ist isomorph zu [mm] $\IC(X)[Y]/(Y^2-X)$, [/mm] und das wiederum ist isomorph zu [mm] $\IC(Y)$, [/mm] wobei der Unterkoerper [mm] $\IC(X)$ [/mm] gleich [mm] $\IC(Y^2)$ [/mm] ist. Damit kannst du [mm] $\IC(Y)$ [/mm] als [mm] $\IC(\sqrt{X})$ [/mm] auffassen.
> Das mit der Anwendung des ersten Isomorphiesatzes verstehe
> ich, allerdings sehe ich nicht, wieso [mm]p\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] - X)
> [mm]\cong (p,Y^{2}[/mm] - [mm]X)/(Y^{2}[/mm] - X) gilt.
Das ist nicht nur isomorph, sondern sogar gleich.
Allgemein gilt: ist $R$ ein Ring und sind $f, g [mm] \in [/mm] R$, so ist das von der Restklasse $f + (g)$ erzeugte Ideal in $R/(g)$ gleich der Restklassengruppe $(f, g) / (g)$. Die Gleichheit kann man recht einfach nachrechnen (beide Inklusionen zeigen).
Du kannst das auch verallgemeinern, indem du $f$ und $g$ jeweils durch eine Familie von Elementen ersetzt. Die Indexmenge kann beliebig gross sein.
> Was mich noch interessieren würde: Kann man den Ausdruck
> [mm]\IC[X,Y]/(p,Y^{2}[/mm] - X) zu [mm](\IC[X,Y]/(Y^{2}[/mm] - X))/p
> "umformen"?
> Wenn ja, wieso kann man das dann?
Ja, das geht. Das ist wieder der gleiche Isomorphiesatz, mit dem du von [mm] $(\IC[X,Y]/(Y^2 [/mm] - X))/(p)$ auf [mm] $\IC[X,Y]/(p, Y^2-X)$ [/mm] gekommen bist.
> Tut mir Leid, sind ziemlich viele Fragen, hab mit solchen
> Sachen leider noch nicht soviel Erfahrung.
Keine Angst, das kommt schon noch :)
LG Felix
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Hallo,
dann hab vielen Dank für deine Hilfe!
Viele Grüße
Anfänger
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