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| Aufgabe | Sei I eine Indexmenge und {N(i) : i [mm] \in [/mm] I} eine Menge von Normalteilern der Gruppe G.
Dann sind <N(i) :i [mm] \in [/mm] I> und [mm] \cap [/mm] N(i) Normalteiler von G. |
Hi ich muss für mein Proseminar, diesen Satz verstehen und beweisen können. Kann mir da vielleicht jemand helfen.
Vielen Dank im Vorraus.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei I eine Indexmenge und [mm] $\{N(i) : i \in I\}$ [/mm] eine Menge von
> Normalteilern der Gruppe G.
> Dann sind <N(i) :i [mm]\in[/mm] I> und [mm]\cap[/mm] N(i) Normalteiler von
> G.
> Hi ich muss für mein Proseminar, diesen Satz verstehen und
> beweisen können. Kann mir da vielleicht jemand helfen.
Was hast du denn schon versucht?
Also dass [mm] $\langle [/mm] N(i) [mm] \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \rangle$ [/mm] eine Untergruppe von $G$ ist, das ist klar. Dass [mm] $\bigcap_{i\in I} [/mm] N(i)$ eine Untergruppe ist kann man recht schnell nachrechnen, einfach mit dem Untergruppenkriterium. Hast du das schon versucht?
Dann musst du die Normalteilereigenschaft nachrechnen. Nimm dir also ein allgemeines Element $h$ aus [mm] $\langle [/mm] N(i) [mm] \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \rangle$ [/mm] -- wie sieht das aus? -- und ein beliebiges $g [mm] \in [/mm] G$. Du musst zeigen, dass $g h [mm] g^{-1}$ [/mm] wieder in [mm] $\langle [/mm] N(i) [mm] \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \rangle$ [/mm] liegt (dazu fuege geschickt [mm] $g^{-1} [/mm] g$ in die Elementdarstellung ein).
Und dann musst du noch zeigen, dass [mm] $\bigcap_{i\in I} [/mm] N(i)$ wieder ein Normalteiler ist. Nimm dir also ein Element $h [mm] \in \bigcap_{i\in I} [/mm] N(i)$ und $g [mm] \in [/mm] G$ und zeige, dass $g h [mm] g^{-1}$ [/mm] wieder in [mm] $\bigcap_{i\in I} [/mm] N(i)$ ist.
Dazu musst du natuerlich benutzen, dass die $N(i)$ alle Normalteiler sind.
LG Felix
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Danke für die Hilfestellung, aber genau das ist ja mein Problem, wie sieht <N(i)| i [mm] \in [/mm] I> genau aus? Die Definition besagt ja, dass es der Schnitt aller Untergruppen von G ist, die N(i) enthalten, oder? Ich dachte aber Normalteiler sind selbst Untergruppen von G und somit verstehe ich nicht wieso <N(i)> nicht einfach die Vereinigung aller Normalteiler ist. Sieht ein Element aus diesem Erzeugnis vielleicht so aus ? h [mm] \in [/mm] N(i) für mindestens ein i [mm] \in [/mm] I? Dann würde folgen, dass [mm] ghg^{-1} \in gN(i)g^{-1} [/mm] ist, oder?
Ich glaube den anderen Teil der Aufgabe hab ich jetzt verstanden, ein Element aus dem Schnitt der Normalteiler, also für h [mm] \in\cap [/mm] N(i) müsste ja gelten [mm] ghg^{-1} \in g\cap N(i)g^{-1}, [/mm] denn [mm] \forall [/mm] h die im Schnitt der Normalteiler sind muss das Konjugierte ja auch wieder [mm] \in [/mm] N(i) sein und dann kann es ja nur im Schnitt liegen, hab ich das so richig verstanden.
Gruß mathefuchs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mathefuchs!
> Danke für die Hilfestellung, aber genau das ist ja mein
> Problem, wie sieht <N(i)| i [mm]\in[/mm] I> genau aus? Die
> Definition besagt ja, dass es der Schnitt aller
> Untergruppen von G ist, die N(i) enthalten, oder?
Genau. Man kann die Elemente aber auch explizit beschreiben (siehe unten).
> Ich
> dachte aber Normalteiler sind selbst Untergruppen von G und
> somit verstehe ich nicht wieso <N(i)> nicht einfach die
> Vereinigung aller Normalteiler ist.
Vereinigungen von Untergruppen sind im allgemeinen keine Untergruppen: Nimm etwa $G = [mm] \IZ \times \IZ$ [/mm] und [mm] $H_1 [/mm] = [mm] \IZ \times \{ 0 \}$, $H_2 [/mm] = [mm] \{ 0 \} \times \IZ$. [/mm] Dann sind [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] Untergruppen von $G$, aber [mm] $H_1 \cup H_2$ [/mm] ist keine Untergruppe von $G$, da [mm] $h_1 [/mm] + [mm] h_2 \not\in H_1 \cup H_2$ [/mm] fuer alle [mm] $h_i \in H_i \setminus \{ 0 \}$, [/mm] $i = 1, 2$.
> Sieht ein Element aus
> diesem Erzeugnis vielleicht so aus ? h [mm]\in[/mm] N(i) für
> mindestens ein i [mm]\in[/mm] I? Dann würde folgen, dass [mm]ghg^{-1} \in gN(i)g^{-1}[/mm]
> ist, oder?
Es geht fast so.
Wenn $G$ eine Gruppe ist und $H$ eine beliebige Teilmenge, dann ist [mm] $\langle [/mm] H [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{ \prod_{i=1}^n h_i^{e_i} \mid n \in \IN; \; h_i \in H, e_i \in \{ 1, -1 \} \text{ für } i = 1, \dots, n \}$.
[/mm]
Hier ist es sogar noch etwas besser: Du weisst, das zu jedem $h [mm] \in [/mm] H$ auch [mm] $h^{-1} \in [/mm] H$ ist. Dann ist [mm] $\langle [/mm] H [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{ \prod_{i=1}^n h_i \mid n \in \IN; \; h_i \in H \text{ für } i = 1, \dots, n \}$. [/mm] Also ist ein Element aus [mm] $\langle [/mm] H [mm] \rangle$ [/mm] ein endliches Produkt von Elementen aus $H$.
Damit solltest du jetzt weiterkommen.
> Ich glaube den anderen Teil der Aufgabe hab ich jetzt
> verstanden, ein Element aus dem Schnitt der Normalteiler,
> also für h [mm]\in\cap[/mm] N(i) müsste ja gelten [mm]ghg^{-1} \in g\cap N(i)g^{-1},[/mm]
> denn [mm]\forall[/mm] h die im Schnitt der Normalteiler sind muss
> das Konjugierte ja auch wieder [mm]\in[/mm] N(i) sein und dann kann
> es ja nur im Schnitt liegen, hab ich das so richig
> verstanden.
Genau!
LG Felix
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Hi danke schön für deine Hilfe, hab nur noch eine Frage, funktioniert der Beweis um zu zeigen das <N(i)> Normalteiler ist so:
<N(i)> ist ja der Schnitt über alle Untergruppen die jedes N(i) enthalten, nenne ich so eine Untergruppe H, so kann ich ja sagen [mm] gHg^{-1} [/mm] enthält jedes [mm] gN(i)g^{-1}, [/mm] also da die N(i)'s Normalteiler sind folgt also N(i) [mm] \in gHg^{-1}. [/mm] Diesen Beweis habe ich aus meiner Quelle fürs Proseminar, aber wieso folgt daraus jetzt das <N(i)> Normalteiler ist? Und gibt es ein h [mm] \in [/mm] H, für das gilt h [mm] \not\in [/mm] N(i)?>
Lg Mathefuchs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mathefuchs!
> Hi danke schön für deine Hilfe, hab nur noch eine Frage,
> funktioniert der Beweis um zu zeigen das <N(i)>
> Normalteiler ist so:
>
> <N(i)> ist ja der Schnitt über alle Untergruppen die jedes
> N(i) enthalten, nenne ich so eine Untergruppe H, so kann
> ich ja sagen [mm]gHg^{-1}[/mm] enthält jedes [mm]gN(i)g^{-1},[/mm] also da
> die N(i)'s Normalteiler sind folgt also N(i) [mm]\in gHg^{-1}.[/mm]
Du meinst $N(i) [mm] \subseteq [/mm] g H [mm] g^{-1}$.
[/mm]
> Diesen Beweis habe ich aus meiner Quelle fürs Proseminar,
> aber wieso folgt daraus jetzt das <N(i)> Normalteiler ist?
Nun: Insbesondere gilt dies ja fuer $H = <N(i)>$ (als Untergruppe, die alle $N(i)$ umfasst), also $N(i) [mm] \subseteq [/mm] g H [mm] g^{-1}$ [/mm] fuer alle $i$. Damit gilt aber auch $H [mm] \subseteq [/mm] g H [mm] g^{-1}$, [/mm] da $g H [mm] g^{-1}$ [/mm] eine Untergruppe ist.
Das gleiche Argument mit [mm] $g^{-1}$ [/mm] anstatt $g$ liefert $H [mm] \subseteq (g^{-1}) [/mm] H [mm] (g^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1} [/mm] H g$, womit $g H [mm] g^{-1} \subseteq [/mm] g [mm] g^{-1} [/mm] H g [mm] g^{-1} [/mm] = H$ ist.
Also folgt $H = g H [mm] g^{-1}$.
[/mm]
> Und gibt es ein h [mm]\in[/mm] H, für das gilt h [mm]\not\in[/mm] N(i)?>
Moeglich. Nimm etwa $G = [mm] \IZ \times \IZ$, [/mm] $N(1) = [mm] \IZ \times \{ 0 \}$ [/mm] und $N(2) = [mm] \{ 0 \} \times \IZ$. [/mm] Dann ist $<N(i)> = G [mm] \supsetneqq [/mm] N(1) [mm] \cup [/mm] N(2)$.
LG Felix
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