Faltung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 17.06.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen P auf [mm] $\IN_0$ [/mm] mit P*P=P. |
Hallo Leute, diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich die Faltung auch noch nicht richtig verstanden habe.
Die Faltung ist in unserer Vorlesung wie folgt definiert:
$$P [mm] \*Q ~~\mbox{definiert durch}~~ [/mm] (P [mm] \*Q)(m) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{m}{P(k)Q(m-k)}.$$
[/mm]
Daher war mein erster Ansatz:
$$ [mm] \sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}=P(m)$$
[/mm]
Da hört es aber auch schon auf... ist mein Ansatz richtig?
Wenn nein, wie mache ich es dann?
Und noch eine Sache kann ich mir nicht vorstellen... und zwar: wie kann ich ein Ergebnis bekommen, dass mir beispielsweise sagt: P*P=P gilt für die Binomialverteilung.
Grüße, cauchy
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 17.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin cauchy,
> Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen P auf
> [mm]\IN_0[/mm] mit P*P=P.
> Hallo Leute, diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
> Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich die Faltung auch
> noch nicht richtig verstanden habe.
> Die Faltung ist in unserer Vorlesung wie folgt definiert:
> [mm]P \*Q ~~\mbox{definiert durch}~~ (P \*Q)(m) = \sum_{k=0}^{m}{P(k)Q(m-k)}.[/mm]
>
> Daher war mein erster Ansatz:
> [mm]\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}=P(m)[/mm]
> Da hört es aber auch schon auf... ist mein Ansatz
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun mach mal weiter: Was erhaeltst du fuer $m=0$, $m=1$, $m=2$, ... ?
> Wenn nein, wie mache ich es dann?
> Und noch eine Sache kann ich mir nicht vorstellen... und
> zwar: wie kann ich ein Ergebnis bekommen, dass mir
> beispielsweise sagt: P*P=P gilt für die
> Binomialverteilung.
Das wirst du nicht zeigen koennen: Wenn du zwei unabhaengige B(1,p)-Verteilungen
faltest, erhaeltst du eine B(2,p)-Verteilung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
>
> Und nun mach mal weiter: Was erhaeltst du fuer [mm]m=0[/mm],
> [mm]m=1[/mm], [mm]m=2[/mm], ... ?
>
>
In Ordnung, habe ich gemacht, aber hilft mir nicht wirklich weiter.
Für den Fall m=0 habe ich gerechnet:
[mm] $$\sum_{k=0}^{0}{P(k)P(0-k)} [/mm] = P(0) [mm] \gdw [/mm] P(0)*P(0) = P(0) [mm] \gdw [/mm] P(0) = 1$$
Und für den Fall m=1:
[mm] $$\sum_{k=0}^{1}{P(k)P(1-k)} [/mm] = P(1) [mm] \gdw [/mm] P(0)P(1)+P(1)P(0) = P(1) [mm] \gdw [/mm] 2*P(0) = 1 [mm] \gdw [/mm] P(0) [mm] =\bruch{1}{2}$$
[/mm]
Für m=2 funktioniert das leider nicht mehr so schön...
[mm] $$\sum_{k=0}^{2}{P(k)P(2-k)} [/mm] = P(2) [mm] \gdw [/mm] P(0)P(2)+P(1)P(1)+P(2)P(0) = P(2)$$
Wie mache ich weiter? Oder ist das schon falsch?
VG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 18.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> In Ordnung, habe ich gemacht, aber hilft mir nicht wirklich
> weiter.
>
> Für den Fall m=0 habe ich gerechnet:
> [mm]\sum_{k=0}^{0}{P(k)P(0-k)} = P(0) \gdw P(0)*P(0) = P(0) \gdw P(0) = 1[/mm]
Na, na, nicht so schnell:
$P(0)*P(0) = P(0) [mm] \gdw [/mm] P(0) = 1$ oder $P(0)=0$ !
Also wenn $P(0)=1$ ist, dann lautet die Ausgangsverteilung $P(X=0)=1$ und
$P(X=x)=0$ fuer $x=1,2,3,...$.
Die anderen Faltungsgleichungen lauten dann
[mm] $P(m)=\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}=0$. [/mm] Also stimmt die Ausgangsverteilung in
diesem Fall mit der Faltungsverteilung ueberein, $P*P=P$.
Jetzt musst du noch den Fall $P(0)=0$ betrachten. Die zweite
Faltungsgleichung lautet $P(1)=P(0)P(1)+P(1)P(0)=0$. Also ist
notwendigerweise $P(1)=0$.
Die dritte Faltungsgleichung lautet $P(2)=P(2)P(0)+P(1)P(1)+P(0)P(2)=0$. Also ist
notwendigerweise $P(2)=0$, usw. Mithin resultiert mit der Annahme
$P(0)=0$ keine Verteilung, und nur die obige Verteilung leistet $P*P=P$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
STOP! Das verstehe ich irgendwie nicht ...
> > In Ordnung, habe ich gemacht, aber hilft mir nicht
> wirklich
> > weiter.
> >
> > Für den Fall m=0 habe ich gerechnet:
> > [mm]\sum_{k=0}^{0}{P(k)P(0-k)} = P(0) \gdw P(0)*P(0) = P(0) \gdw P(0) = 1[/mm]
>
> Na, na, nicht so schnell:
>
> [mm]P(0)*P(0) = P(0) \gdw P(0) = 1[/mm] oder [mm]P(0)=0[/mm] !
>
In Ordnung, sehe ich ein!
>
> Also wenn [mm]P(0)=1[/mm] ist, dann lautet die Ausgangsverteilung
> [mm]P(X=0)=1[/mm] und
> [mm]P(X=x)=0[/mm] fuer [mm]x=1,2,3,...[/mm].
Das finde ich auch noch logisch.
> Die anderen Faltungsgleichungen lauten dann
> [mm]P(m)=\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}=0[/mm]. Also stimmt die
> Ausgangsverteilung in
> diesem Fall mit der Faltungsverteilung ueberein, [mm]P*P=P[/mm].
Das verstehe ich jedoch nicht...warum ist [mm] P(m)=\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)} [/mm] gleich Null?
Dass ich noch den zweiten Fall betrachten muss, ist auch verständlich, aber erst eins nach dem anderen.
VG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 18.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> Das verstehe ich jedoch nicht...warum ist
> [mm]P(m)=\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}[/mm] gleich Null?
>
Argumentiere induktiv: Angenommen, es ist [mm] $P(0)=P(1)=\dots=P(m-1)=0$.
[/mm]
Die ausgeschriebene Summe lautet dann
[mm] $P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0)$
[/mm]
Jeder der Summanden hat nach Voraussetzung einen Faktor $P(k)=0$. Also
ist auch die Summe =0.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
>
> > Das verstehe ich jedoch nicht...warum ist
> > [mm]P(m)=\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}[/mm] gleich Null?
> >
>
> Argumentiere induktiv: Angenommen, es ist
> [mm]P(0)=P(1)=\dots=P(m-1)=0[/mm].
> Die ausgeschriebene Summe lautet dann
Das finde ich aber unlogisch! Wir haben doch gesagt, dass P(0)=1 ist!
> [mm]P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0)[/mm]
>
> Jeder der Summanden hat nach Voraussetzung einen Faktor
> [mm]P(k)=0[/mm]. Also
> ist auch die Summe =0.
>
>
>
> vg Luis
>
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 18.06.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Das finde ich aber unlogisch! Wir haben doch gesagt, dass
> P(0)=1 ist!
>
>
Der Fall ist schon laengst erledigt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Blech |
Nein, zu dem Zeitpunkt noch nicht. =)
Wir sind da noch beim Fall P(0)=1.
Das offensichtliche Argument ist nun, $P(m)=0\ [mm] \forall m\neq [/mm] 0$, da [mm] $\sum_{k\in\IN_0}P(k)=1$, [/mm] schließlich ist es eine Wverteilung.
Es geht aber auch über die Summe:
$ [mm] P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0) [/mm] $
P(0)=1, nach Voraussetzung, den Fall betrachten wir ja.
[mm] $P(1)=P(2)=\ldots=P(m-1)=0$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
[mm] $\Rightarrow P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0) =2P(m)\cdot [/mm] 1 [mm] \overset{!}{=}P(m)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] P(m)=0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
> Nein, zu dem Zeitpunkt noch nicht. =)
>
> Wir sind da noch beim Fall P(0)=1.
> Das offensichtliche Argument ist nun, [mm]P(m)=0\ \forall m\neq 0[/mm],
> da [mm]\sum_{k\in\IN_0}P(k)=1[/mm], schließlich ist es eine
> Wverteilung.
>
> Es geht aber auch über die Summe:
> [mm]P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0)[/mm]
>
> P(0)=1, nach Voraussetzung, den Fall betrachten wir ja.
> [mm]P(1)=P(2)=\ldots=P(m-1)=0[/mm] nach Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]\Rightarrow P(0)P(m)+P(1)P(m-1)+P(2)P(m-2)+\dots+P(m-1)P(1)+P(m)P(0) =2P(m)\cdot 1 \overset{!}{=}P(m)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow P(m)=0[/mm]
Ja das verstehe ich! So dachte ich, meinte Luis das auch. Das war doch jetzt der erste Fall, oder? Und "anschaulich" bedeutet das doch: Alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei denen P(0)=1 und P(m)=0 für alle [mm] m\not= [/mm] 0 ist, gilt P*P=P, oder?
Jetzt müssen wir nur noch den 2. Fall P(0)=0 betrachten, oder? Und dabei kommt dann raus, das es nicht funktioniert (s.o.), oder? D.h. nur Fall 1 funktioniert und ist somit die Lösung dieser Aufgabe.
Habe ich das soweit verstanden? (Entschuldigung für das viele "oder?", aber ich bin mir halt unsicher)
VG, cauchy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Ja das verstehe ich! So dachte ich, meinte Luis das auch.
Nein, Luis meinte, daß wegen P(0)=1, automatisch alle anderen 0 sind, und hat dann nur noch extra betrachtet, ob auch wirklich die Faltungsgleichung erfüllt ist (sie ist)
> Das war doch jetzt der erste Fall, oder? Und "anschaulich"
> bedeutet das doch: Alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei
> denen P(0)=1 und P(m)=0 für alle [mm]m\not=[/mm] 0 ist, gilt P*P=P,
> oder?
Es gibt nur eine Verteilung, die das erfüllt, und das ist die deterministische 0.
> Jetzt müssen wir nur noch den 2. Fall P(0)=0 betrachten,
> oder? Und dabei kommt dann raus, das es nicht funktioniert
> (s.o.), oder? D.h. nur Fall 1 funktioniert und ist somit
> die Lösung dieser Aufgabe.
Ja.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
Ok, ich bedanke mich schon mal für eure Hilfe.
Vllt melde ich mich morgen noch mal, wenn ich noch Fragen habe!
VG, cauchy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 18.06.2008 | | Autor: | cauchy |
Ach, das war für den zweiten Fall?
Hm, ich wollte aber weiter oben noch den ersten Fall erklärt haben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Ach, das war für den zweiten Fall?
Nö, da hat sich luis verguckt. Er hat nur sofort aus P(0)=1 geschlossen, daß P(m)=0 für alle anderen m.
Aber wie schon geschrieben, kommst Du induktiv auf
[mm] $$\sum_{k=0}^{m}{P(k)P(m-k)}=2P(m)\overset{!}{=}P(m),$$
[/mm]
also auf das gleiche Ergebnis.
ciao
Stefan
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