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| Aufgabe | a) Seien X,Y unabh. Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IZ [/mm] und Verteilungen P bzw. Q. Z.z. X+Y hat die Verteilung mit Zähldichte P * Q({k})= [mm] \summe_{l \in \IZ}^{} [/mm] P({l})Q({k-l}), k [mm] \in \IZ.
[/mm]
b)Seien X, Y unabh. identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IZ_{+}. [/mm] Es gelte [mm] P(X=k|X+Y=n)=\bruch{1}{n+1} [/mm] für alle 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.
Bestimme die Verteilung von X und von Y unter der Vorausetzung P(X=k)>0 für alle k [mm] \ge [/mm] 0 ist. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst, habe aber an manchen Stellen Schwierigkeiten und weiß nicht, wie es da weiter geht:
a) Hier bin ich folgendermaßen vorgegangen, un denke auch, dass es richtig ist:
[mm] P((X,Y)\in [/mm] A)= [mm] \summe_{X,Y \in A}^{} [/mm] f(x)f(y)= [mm] \summe_{X,Y}^{} [/mm] P(X=x)P(Y=y) = [mm] \summe_{X,Y}^{}P({{x}})*P({y})= \summe_{l \in \IZ}^{}P(X=l)Q(Y= l-k)=\summe_{}^{}P({l})Q({k-l}) [/mm] = [mm] \summe_{}^{}f(l)= [/mm] P * Q({k})
In der Rechnung habe ich A [mm] ={(x,y)\in \IZ^{2}: x+y=k, \forall k \in \IZ } [/mm] definiert. Dann habe ich gegen Ende X=l gesetzt und dann substituiert: aus x+y =k in A folgt: y=k-x=k-l. die f's sind hier die diskreten Dichtefunktionen.
Stimmt das so? 
zur b) Es gilt ja: [mm] \bruch{1}{n+1}= [/mm] P(X=k|X+Y=n) = [mm] \bruch{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}
[/mm]
Aber kann ich jetzt den Zähler als Produkt schreiben wegen der Unabhängigkiet von X und Y?
Die Vert. von X ist: P(X=k). Die ist nach Vor. >0.
Ich komme hier nicht richtig weiter. Wie komme ich jetzt auf die gesuchten Verteilungen von X und Y?
Es wäre schön, wenn mir jmd. helfen könnte.
Vielen Dank.
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 30.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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