Fallunterscheidungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey!
ich schreibe morgen eine Mathearbeit und ich kapiere diese dummen Fallunterscheidungen einfach nicht! hat jemand einen tipp für mich wie ich das endlich kapieren könnte oder ein paar beispiele? danke! bitte schreibt schnell! LG...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 11.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo JamaicaBabe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es wäre vielleicht mehr als hilfreich, wenn Du uns mal ein/zwei Aufgaben posten würdest, die ihr gerade behandelt.
Lautet euer Thema gerade Betrags(un)gleichungen bzw. Ungleichungen allgemein?
So ist Deine Frage leider nicht beantwortbar ...
Gruß vom
Roadrunner
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also die eine Aufgabe ist:
[mm] \bruch{6}{x-4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8-2x} [/mm] = 0
der erste Fall:
[mm] \bruch{12}{2(x-4)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(x-4)} [/mm] < 0
12 + 1 < 0
13 > 0
2. Fall:
[mm] \bruch{12}{2(x-4)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(x-4)} [/mm] < 0
12 + 1 > 0
13 > 0
2(x-4) < 0 |:2
x-4 < 0 |+4
x < 4
/IL = (x /in /IQ | x<4)
so wie soll man denn da bitte drauf kommen?! oO
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Hallo Jule!
Gehen wir mal schrittweise vor ...
[mm]\bruch{6}{x-4} - \bruch{1}{8-2x} \ < \ 0[/mm]
Zunächst (noch völlig ohne Fallunterscheidung) formen wir etwas um:
[mm]\bruch{6}{x-4} - \bruch{1}{2*(4-x)} \ < \ 0[/mm]
[mm]\bruch{6}{x-4} - \bruch{1}{2*(-1)*(x-4)} \ < \ 0[/mm]
[mm]\bruch{6}{x-4} \ \red{+} \ \bruch{1}{2*(x-4)} \ < \ 0[/mm]
Nun multiplizieren wir diese Ungleichung mit $2_$ . Da gilt $2 \ > \ 0$ , brauchen wir das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen.
[mm]\bruch{12}{x-4} + \bruch{1}{x-4} \ < \ 0[/mm]
[mm]\bruch{12+1}{x-4} \ < \ 0[/mm]
[mm]\bruch{13}{x-4} \ < \ 0[/mm]
Nun wollen wir diese Ungleichung mit dem Term $(x-4)_$ multiplizieren. Dabei ist nun darauf zu achten bzw. zu unterscheiden, ob wir hier mit einem positiven Wert oder mit einem negativen Wert multiplizieren.
Nun kommt also die Fallunterscheidung ins Spiel:
Fall 1: $x-4 \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \red{>} [/mm] \ 4$
Hier ist der Ausdruck $x-4_$ also positiv, sprich: $> \ 0$ . Von daher bleibt das Ungleichheitszeichen unserer Ungleichung unverändert:
[mm]\bruch{13}{x-4}*(x-4) \ \red{<} \ 0*(x-4)[/mm]
[mm]13 \ < \ 0[/mm]
Bekanntermaßen ist aber $13_$ nicht kleiner als $0_$ ; es handelt sich hier also demnach um eine falsche Aussage und damit ist die Lösungsmenge dieses 1. Falles die leere Menge: [mm] $\IL_1 [/mm] \ = \ [mm] \emptyset$ [/mm] .
Auf zum 2. Fall ...
Fall 2: $x-4 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ 4$
Hier ist der Ausdruck $x-4_$ also negativ, sprich: $< \ 0$ . Von daher muss das Ungleichheitszeichen unserer Ungleichung umgedreht werden mit der Multiplikation:
[mm]\bruch{13}{x-4}*(x-4) \ \red{>} \ 0*(x-4)[/mm]
[mm]13 \ > \ 0[/mm]
Diese Ungleichung ist eine wahre Aussage, denn sie stimmt für alle x-Werte des betrachteten Falles mit $x \ < \ 4$ .
Damit lautet die Lösungsmenge dieses 2. Falles: [mm] $\IL_2 [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IQ \ | \ x<4 \ \right\}$ [/mm] .
Nun vereinigen wir beide Lösungsmengen [mm] $\IL_1$ [/mm] und [mm] $\IL_2$ [/mm] und erhalten die Gesamtlösungsmenge:
[mm] $\IL [/mm] \ = \ [mm] \IL_1 [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] \IL_2 [/mm] \ = \ [mm] \emptyset [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] \left\{ \ x\in\IQ \ | \ x<4 \ \right\} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IQ \ | \ x<4 \ \right\}$
[/mm]
Nun etwas klarer?
Gruß vom
Roadrunner
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danke!!!!! ich glaube jetzt habe ich es soweit gecheckt! danke!! :)
LG Jule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Di 11.07.2006 | | Autor: | MvsM |
Hi JamaicaBabe,
ich muss dem Roadrunner Recht geben, ohne Aufgabenstellung ist es schwierig dir hier zu helfen.
Generell geht es bei der Fallunterscheidung darum, kein Ergebnis fälschlicherweise auf Grund der Betragsstriche auszulassen. Daher muss es sowohl für positive als auch für negative Werte untersucht werden. Anhand einer Aufgabenstellung ließe sich das aber deutlich besser erklären.
MfG
MvsM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Di 11.07.2006 | | Autor: | MvsM |
Hi JamaicaBabe
Könntest du vielleicht auch die direkte Aufgabenstellung einmal formulieren.
Zunächst kann ich erstmal soviel sagen.
6/(x-4) - 1/(8-2x) = 0
Die Terme wurden einfach nur umgestellt und erweitert, damit sie den gleichen Nenner bekommen und mit ihnen gerechnet werden kann.
[mm] \bruch{6}{x-4} [/mm] * 2 = [mm] \bruch{12}{2(x-4)} [/mm]
[mm] \bruch{1}{8-2x} [/mm] wird einfach nur unten eine 2 ausgeklammert und der Term mit -1 multipliziert, dann erhälst du
- [mm] \bruch{1}{2(x-4)}
[/mm]
Da Minus * Minus Plus ergibt lautet die Gleichung
[mm] \bruch{12}{2(x-4)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(x-4)} [/mm] < 0
Bei der Gleichung
ist vor allem der Nenner entscheidend, denn der darf niemals 0 werden, da die Division durch Null nicht erlaubt ist.
Wenn du aber für x im Nenner 4 einsetzt erhälst du in beiden Termen 0 und das ist nicht definiert. Also musst du eine Fallunterscheidung machen für alle x - Werte kleiner als 4 und alle x - Werte größer als 4.
Für alle x - Werte größer 4, wird der Nenner immer positiv, denn eine Zahl größer 4 - 4 ergibt eine positive Zahl und * 2 bleibt es eine positive Zahl, demnach ist für alle x > 4 der Nenner immer größer Null.
Bei allen x - Werten kleiner als 4 ist der Nenner auch kleiner Null, also negativ. Wie nun weiter mit der Aufgabe verfahren wird, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab.
MfG
MvsM
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danke dass hat mir schon weiter geholfen!
ich habe da noch eine Aufgabe! da hänge ich gerade etwas fest!
[mm] \bruch{1}{x+5} -\bruch{3}{5x+20} [/mm] > 0
die Deffinitionsmenge habe ich die is -5
aber wie soll ich jetzt auf den gemeinsamen Nenner kommen?
...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Den 2. Bruch musst du auch beachten! Auch er ist für ein x nicht definiert.
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okay... aber ehm? oO och mann...
der HN ist doch 5(x+5) oder nicht?!
weil aus x+5 wird 5(x+1) und aus 5x+20 wird 5(x+4)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
> okay... aber ehm? oO och mann...
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> der HN ist doch 5(x+5) oder nicht?!
>
> weil aus x+5 wird 5(x+1) und aus 5x+20 wird 5(x+4)
Nein, aus x+5 würde [mm] 5(\bruch{1}{5}x+1) [/mm] werden :)
Naja also ich würde bei dieser Aufgabe so vorgehen:
1. Definitionsmenge klar machen: -5 und auch die -4 gehören NICHT dazu!
2. Ich lasse die Nenner wie sie sind.
3. Ich multipliziere beide Brüche mit (x+5) und dann mit (5x+20)
[mm] \Rightarrow [/mm] Damit kürzen sich bei beiden Brüchen die Nenner weg und du musst nur eine einfachere Ungleichung lösen.
[mm] \bruch{(x+5)\*(5x+20)\*1}{x+5} -\bruch{(x+5)\*(5x+20)\*3}{5x+20} [/mm] > 0
[mm] \bruch{(5x+20)\*1}{1} -\bruch{(x+5)\*3}{1} [/mm] > 0
5x+20-3(x+5)>0
Den rest schaffst du sicher alleine :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:43 Di 11.07.2006 | | Autor: | JamaicaBabe |
ich habe eben eine Aufgabe dazu gerechnet!
[mm] \bruch{1}{x+5} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5x+25} [/mm]
un habe als Ergebnis : [mm] \IL [/mm] = {8}
kann mir jemand sagen ob das stimmt? ich will nicht die Rechnung wissen, ich will nur wissen ob das ergebnis stimmt!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 11.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Jule!
Bei dieser Aufgabe fehlt doch noch was. Schließlich handelt es sich hier weder um eine Gleichung bzw. Ungleichung ...
Gruß vom
Roadrunner
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ne des is ne Fallunterscheidung und da hab ich als Lösungsmenge 8 raus... als deffinitonsmenge habe ich:
/ID= x /in /IQ \ {-5}
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kann mir bitte jemand sagen ob dieses Ergebnis stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Nein, stimmt leider nicht :(
Die Definitionsmenge ist
D= [mm] \IQ [/mm] \ {-5; -4}
Und das andere stimmt leider auch nicht!
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och nööö :( so ne sch.... -.-
naja abba danke fürs nachrechnen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Warte mal, jetzt hast du da plötzlich
[mm] \bruch{1}{x+5} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5x+25} [/mm] zu stehen :) da sieht die ganze Sache schon anders aus. Davor stand ja 5x+20 da...
Hier ist D= [mm] \IQ [/mm] \ -5
Den 1. Bruch erweiterst du dann mit 5 und erhälst:
[mm] \bruch{5}{5x+25} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5x+25} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow \bruch{2}{5x+25} [/mm] > 0
Dann solltest du dir mal Roadrunners langen Post angucken!
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