Fallunterscheidung Kurvenschar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 30.01.2006 | | Autor: | der_sven |
Hallo!
Ich habe folgende Kurvenschar gegeben:
f(x) = (x² + a²) / x
Als Extremwerte habe ich x= +/- a heraus und wenn ich jetzt f(a) berechne erhalte ich:
f(a) = - (2/a)
Also wäre ja an der Stelle x=a für a > 0 ein Hochpunkt und für a < 0 ein Tiefpunkt.
Allerdings habe ich ja in der Funktion selber nur ein a². Es ist also egal, ob ich etwas positives für a einsetze oder etwas negatives. Es käme beispielsweise für 2 und -2 exakt der gleiche Funktionsgraph heraus (obwohl dies ja laut der zweiten Ableitung nicht so sein dürfte).
Das hat mich jetzt alles etwas verwirrt, darum hoffe ich, dass jemand diese Verwirrung lösen kann. Muss ich nun eine Fallunterscheidung machen oder nicht? (und falls nicht: wann mache ich denn dann überhaupt eine Fallunterscheidung?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sven!
Um zu überprüfen, ob an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ +a$ ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt, musst Du diesen Wert doch in die zweite Ableitung einsetzen (hinreichendes Kriterium). Und dort wird dann auch die entsprechende Fallunterscheidung nötig.
[mm] $f_a''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2a^2}{x^3}$
[/mm]
[mm] $f_a''(+a) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2a^2}{(+a)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2a^2}{a^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{a}$
[/mm]
Dieser Term wird nun für positive $a_$ ebenfalls positiv, und damit liegt ein Tiefpunkt vor.
Umgekehrt erhalten wir für negative $a_$ auch einen negativen Wert der 2. Ableitung, also einen Hochpunkt.
Du siehst, es ist abhängig von $a_$, ob hier an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ +a$ ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Von daher ist diese Fallunterscheidung erforderlich.
An der Stelle [mm] $x_2 [/mm] \ = \ -a$ sieht es dann genau umgekehrt aus (was ja auch logisch ist, da diese Kurvenschar punktsymmetrisch zum Ursprung ist).
Gruß
Loddar
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