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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 19.04.2006 | | Autor: | PEPE82 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{1}{x^{ \alpha} dx}
[/mm]
Integral von 0 bis 1 X hoch Alpha dx, Fallunterscheidung nach Alpha |
Ich Habe als Lösung bisher:
Zahlenintervall von -1 bis +1 außer Null wenn Alpha eine Reelle Zahl ist
und (0,1] wenn Alpha nur Possitiv
Kann das jemand bestätigen oder bin ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
hi Pepe,
ich verstehe nicht ganz, wie du das mit Lösungen meinst, aber hier mal
hier meine Überlegungen:
ein Unterschied beim bilden der Stammfkt. bekommst du nur für die Fälle
[mm] \alpha=-1 [/mm] und
[mm] \alpha\not=-1 [/mm]
Falls aber [mm] \alpha<0 [/mm] musst du die Probleme bei der unteren Integralgrenze beachten, weil dort der Integrand dann nicht definiert ist. Bei der dann entstehenden Grenzwertbetrachtung musst du evtl. weitere Fälle unterscheiden, wenn du rausfinden willst, ob das Integral existiert.
Ich hoffe ich konnte helfen.
l G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 19.04.2006 | | Autor: | PEPE82 |
Ich bekomme doch für Alpha= -1 die Lösung 1 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi nochmal,
Für [mm] \alpha=-1 [/mm] steht da
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}dx}=[\ln(x)]_0^1=0-\limes_{n\rightarrow 0}\ln(n)=\infty
[/mm]
Das Integral existiert also nicht.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 19.04.2006 | | Autor: | PEPE82 |
Wäre die Lösung dann [-1,0) [mm] \cup [/mm] (0,1] Für alle [mm] \alpha [/mm] außer -1 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
Ich weiss immer noch nicht, was du mit Lösungen meinst. Meinst du die Fälle, die man unterscheiden muss, damit das Integral existiert? Keine Ahnung, habs nicht ausgerechnet.
Für [mm] \alpha\ge0 [/mm] existiert es sicher.
Untersuche das Integral halt mal für [mm] \alpha<0, \alpha\not=-1 [/mm] (das hab ich ja oben schon gemacht) und kucke, wann ein Grenzwert existiert. Ich schätze (habs aber nicht ausgerechnet), dass du noch die Fälle
[mm] -1<\alpha<0 [/mm] und [mm] \alpha<-1 [/mm] unterscheiden musst. Zeig mir die Rechnung (nicht nur das Ergebnis), ich sag dir, ob's richtig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 19.04.2006 | | Autor: | PEPE82 |
[mm] \integral_{0}^{1}{ x^{ \alpha} dx} [/mm] =
für [mm] \{ \alpha | \alpha \mbox{ positiv}\}
[/mm]
1/ ( [mm] \alpha [/mm] + 1) also (0,1]
für negative Alpha
1/( [mm] \alpha [/mm] + 1) aber [mm] \alpha \not= [/mm] -1
also [-1,0)
L= [-1,0) [mm] \cup [/mm] (0,1] für [mm] \alpha \not= [/mm] -1
Die Untere Grenze wird ja immer 1, und an der oberen ändert sich vom
lösongsweg doch auch nichts???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
> [mm]\integral_{0}^{1}{ x^{ \alpha} dx}[/mm] =
> für [mm]\{ \alpha | \alpha \mbox{ positiv}\}[/mm]
> 1/ [mm] (\alpha [/mm] + 1)
stimmt und mit
> also [mm] \red{(0,1]}
[/mm]
,meinst du wohl, dass das Integral darin liegt, ok, aber so würde ich das nicht schreiben, sondern explizit die Lösungen angeben, so:
1.Fall [mm] -1<\alpha
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ x^{ \alpha} dx}=\bruch{1}{\alpha+1}
[/mm]
2.Fall. [mm] \alpha\le-1
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ x^{ \alpha} dx} [/mm] existiert nicht
Das ist das Endergebnis. Falls du das als Hausaufgabe hast, solltest du aber die Rechenwege dazuschreiben, d.h deutlich machen, warum das
Integral einmal existiert und einmal nicht.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mi 19.04.2006 | | Autor: | PEPE82 |
Danke schon mal aber wenn Alpha kleiner - 1, bekomme ich ich doch Lösungen, est geht doch nur um die -1 die nicht deffiniert ist???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
Nein. Am besten siehst du's an einem Beispiel:
Für [mm] \alpha=-2 [/mm] hat das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2}dx}=[-\bruch{1}{x}]_0^1=-1+\limes_{n\rightarrow0}\bruch{1}{n}=-1+\infty
[/mm]
also keinen Grenzwert. Das gilt allgemein für alle Stammfkt. [mm] x^{\alpha+1}, [/mm] bei denen der Exponent negativ ist, also für [mm] \alpha<-1. [/mm] Das meinte ich, vorhin mit:man muss deutlich machen, warum das Integral einmal existiert und einmal nicht. Jetzt klarer?
L G walde
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