Faktorraum(affine Unterräume) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
ich würde gerne wissen, ob jemand gute Erklärungen zu dem Fatkorraum V/U kennt, bzw. irgendwelche Links kennt zu diesem Thema.
Ich habe das Thema grundsätzlich mal verstanden.
Hier mein Wissensstand:
1. Die Elemente des Faktorraums V/U sind von der Gestalt v + U
2. [mm] dim_k [/mm] (V/U) = [mm] dim_k [/mm] V - [mm] dim_k [/mm] U
3. Ist f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen, U [mm] \subseteq [/mm] Ker(f) ein Unterraum von V [mm] \Rightarrow [/mm] f faktorisiert über V/U
4. V/Ker(f) [mm] \cong [/mm] Im(f)
Gibt es irgendwo noch weitere Informationen, da ich das Gefühl habe, dass ich es noch nicht richtig verinnerlicht habe und mit Hilfe meiner Informationen ich es nicht weiter verinnerlichen kann.
Wäre schön, wenn jemand gute Internetseiten kennt oder jemand sogar es selbst gut erklären kann.
MfG Andi
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Ich bräuchte auch noch eine gute Adresse bzw. Erklärung von den Linksnebenklassen.
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich werde mal den Text im Beutelspacher zu diesen Themen kurz zusammenfassen:
Es sei $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Unterraum. Für einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ bezeichnen wir mir
[mm] [center]$v+U:=\{v+u\, \vert\, u \in U\}$[/center]
[/mm]
die Nebenklasse von $U$ durch $v$. Man nennt $v$ einen Repräsentanten der Nebenklasse. Wir erhalten also die Nebenklasse v+U, indem wir $v$ zu jedem Vektor aus $U$ addieren; die so erhaltene Menge von Vektoren ist $v+U$.
Man zeigt leicht:
1) Eine Nebenklasse $v+U$ ist genau dann ein Unterraum (und dann gleich $U$), wenn ihr Repräsentant $v$ in $U$ liegt.
2) Zwei Nebenklassen $v+U$ und $v'+U$ sind genau dann gleich, wenn $v-v'$ in $U$ liegt.
3) Die Repräsentanten einer Nebenklasse sind genau die Elemente dieser Nebenklasse.
Beispiel
Sei $V= [mm] \IR^2$ [/mm] und [mm] $U=\langle [/mm] (1,1) [mm] \rangle$. [/mm] Dann gilt:
$(1,0) + [mm] \langle [/mm] (1,1) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{(1,0)+ (x,x)\, \vert \, x \in \IR\} [/mm] = [mm] \{(1+x,x)\, \vert\, x \in \IR\}$.
[/mm]
Durch
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x-y [mm] \in [/mm] U$
wird eine Äquivalenzrelation auf $V$ definiert. Die Äquivalenzklassen bezüglich dieser Relation bilden somit eine Partition von $V$. Mit anderen Worten:
Die Menge der Vektoren von $V$ ist die disjunkte Vereinigung der Nebenklassen von $U$. Man darf sich die Menge der Nebenklassen nach U als "Parallelenschar" (affine Unterräume) vorstellen.
Nun definiert man den Faktorraum (auch: Quotientenraum):
[mm] $V/U=\{v+U\, \vert\, v \in V\}$
[/mm]
und zeigt, dass dies in der Tat wieder ein Vektorraum ist.
Die wichtigsten Sätze dazu hast du ja genannt, die brauche ich nicht zu wiederholen.
Hier nur noch eine geometrische Interpretation:
Sei $U$ ein Unterraum von $W$, und sei $W$ ein Komplement von $U$ in $V$. Dann schneidet jede Nebenklasse von $U$ den Unterraum $W$ in genau einem Vektor.
Auf diese Weise erhält man für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ einen Isomorphismus
$f: [mm] \begin{array}{ccc} V/U & \to & W\\[5pt] v+U & \mapsto & (v+U) \cap W \end{array}$.
[/mm]
Ich hoffe das hilft dir etwas. 
Viele Grüße
Julius
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