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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Gegeben seien C [0,1] und sein Unterraum U:={f [mm] \in [/mm] C intervall[0,1] | f(0)=f(1)}
Dieser Unterraum besteht also nur aus Funktionen die für x = 0 und x = 1 den selben Funktionswert haben, oder?
gefragt ist: berechnen sie den Faktorraum C [0,1] und ein Repräsentantensystem für diesen Faktorraum!
So und jetzt bessert mich bitte aus falls was nicht stimmt.
So ein Faktorraum ist ja die Menge aller Äquivalenzrelationen.
Die Äquivalenzrelation lautet:
f [mm] \sim [/mm] g [mm] \gdw [/mm] f - g [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] f(1) - g(1) = f(0) - g(0)
Also ist jetzt z.b. eine Äquivalenzklasse f(0)
Die Menge aller Äquivalenzklassen im Bereich [0,1] gibt mir jetzt mein Repräsentantensystem. Also gibt es doch nur 2 Äqivalenzklassen nämlich f(0) und f(1) wenn dass die Vorraussetzungen für den Unterraum sind, oder?
= {{f [mm] \in [/mm] C[0,1]| f(0) - f(1) = c}| c [mm] \in \IR}
[/mm]
Wie gebe ich das Repräsentantensystem an?
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Gruesse!
Du hast offenbar etwas falsch verstanden... die Definition stimmt: zwei stetige Abbildungen $f$ und $g$ sind aequivalent, falls ihre Differenz $(f - g)$ bei 0 und 1 den gleichen Wert hat, also wenn gilt:
$f(0) - g(0) = f(1) - g(1) = c [mm] \in \IR$
[/mm]
Wie kommst Du jetzt darauf, dass es nur zwei Aequivalenzklassen gibt? Die Funktion [mm] $f_0(x) [/mm] = 0$ (die Nullfunktion) ist nicht aequivalent zur Funktion [mm] $f_1(x) [/mm] = x$ (da ihre Differenz nicht die Bedingung erfuellt) und BEIDE sind nicht aequivalent zu [mm] $f_2(x) [/mm] = 2x$ (das sind nur Beispiele...)
Was aber ist nun ein Repraesentantensystem? Ich behaupte, dass die Menge [mm] $\{ f_c : c \in \IR, f_c(x) = cx \}$, [/mm] also die Menge der Ursprungsgeraden ein solches bildet. Zunaechst ist klar, dass diese Funktionen paarweise nicht aequivalent sind: fuer $c,d [mm] \in \IR$ [/mm] mit $c [mm] \not= [/mm] d$ gilt:
[mm] $f_c(0) [/mm] - [mm] f_d(0) [/mm] = c [mm] \cdot [/mm] 0 - d [mm] \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \not= [/mm] c - d = [mm] f_c(1) [/mm] - [mm] f_d(1)$
[/mm]
Sei jetzt $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ beliebig und sei $c := f(1) - f(0)$ also $f(0) = f(1) - c$.
Dann gilt $f [mm] \sim f_c$, [/mm] da:
$f(0) - [mm] f_c(0) [/mm] = f(0) = f(1) - c = f(1) - [mm] f_c(1)$
[/mm]
Damit ist unser Repraesentantensystem gefunden - und es steht in Bijektion zu [mm] $\IR$, [/mm] es gibt also ueberabzaehlbar viele Aequivalenzklassen.
Alles klar?
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:14 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke für die Antwort
Also wie mir scheint kapier ich wohl das Bsp. von Grund auf nicht. Nun ja hier ein paar Gedankengänge zu dem Beispiel so wie ich es offenbar falsch auffasse. Vielleicht wärst du so nett und könntest mich bitte ausbessern.
Aus der Angabe besteht ja U nur aus solchen Funktionen die bei x = 0 und 1 den selben Funktionswert haben. Kann ich mir dass etwa so vorstellen wenn ich mir ein 2-dimensionales Koordinatensystem dass zwischen 0 und 1 der Graph irgendwie verlaufen kann (stetig) nur muss y bei 0 und 1 übereinstimmen?
So und was ist dann genau eine Klasse des Graphen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Fr 28.01.2005 | | Autor: | leduart |
Entschuldigung, ich schrieb Unsinn. ich versuch eine bessere Anwort später
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 29.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> So ein Faktorraum ist ja die Menge aller
> Äquivalenzrelationen.
Da bin ich anderer Meinung
Faktorraum : die Menge Aller Nebenklassen in denen die Äquivalenzrelation gilt
anders gesprochen: eine Nebenklasse ist U+f faus der Menge der auf C stetigen Funktionen.
> Die Äquivalenzrelation lautet:
> f [mm]\sim[/mm] g [mm]\gdw[/mm] f - g [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(1) - g(1) = f(0) -
> g(0)
die verschiedenen Äquivalenzklassen unterscheiden sich durch die Differenz f(1)-f(0) =r
also kann ich sie durch r repräsentieren. r=0 ergibt dann den Unterraum selbst, also die 0 nebenklasse
Die Repräsentanten wären dann etwa f(x) =r*x oder f(x) =r*x^{n} n beliebig
> Also ist jetzt z.b. eine Äquivalenzklasse f(0)
das ist sicher falsch f(0) ist ja keine Funktion sondern eine Zahl, du bist aber im Vektorraum der reellwertigen, stetigen Funktionen
> Die Menge aller Äquivalenzklassen im Bereich [0,1] gibt mir
> jetzt mein Repräsentantensystem. Also gibt es doch nur 2
> Äqivalenzklassen nämlich f(0) und f(1) wenn dass die
> Vorraussetzungen für den Unterraum sind, oder?
ODER!
> = {{f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C[0,1]| f(0) - f(1) = c}| c [mm]\in \IR}
[/mm]
> Wie gebe
> ich das Repräsentantensystem an?
siehe oben
gute Nacht leduart
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