Faktormenge, Kongruenzrelation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Man zeige, dass R ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)} eine Äquivalenzrelation auf der Menge M := {a,b,c,d,e} definiert und bestimme die Faktormenge M/R |
| Aufgabe 2 | | Man ermittle alle Kongruenzrelationen der Restklassengruppe [mm] (Z_3; [/mm] +) |
Hallo!
Zur Aufgabe 1 habe ich mir folgende Überlegungen gemacht:
Die Relation ist eine Äquivalenzrelation da,
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \in [/mm] R -> damit reflexiv
(b,c) [mm] \in [/mm] R => (c,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (d,e) [mm] \in [/mm] R => (e,d) [mm] \in [/mm] R
damit symmetrisch
transitiv ist sie auch.
Damit ist R eine Äquivalenzrelation.
Nun will ich die Faktormenge M/R (Äquivalenzklassen, Quotientenmenge) bestimmen.
Ich bilde zuerst die einzelnen Klassen. Also für alle x [mm] \in [/mm] M gilt
x/R := {y [mm] \in [/mm] M | (x,y) [mm] \in [/mm] R}
also
a/R := {a}
b/R := {b,c}
c/R := {c,b}
d/R := {d,e}
e/R := {e,d}
damit gilt
M/R = {{a},{b,c},{d,e}}
ich hoffe ich habe das richtig gemacht.
Zur Aufgabe 2:
Klarerweise besteht meine Restklassengruppe aus {0,1,2}. Damit habe ich Primzahlordnung.
Nun stehe ich etwas an. Ich weiß nämlich nicht wie man die Kongruenzrelationen bildet bzw ich kann mir das ganze nicht richtig vorstellen.
Nur soweit: Eine Kongruenzrelation wird durch einen Normalteiler erzeugt. Gut, ich habe eine abelsche gruppe (wenn ich mir die Operationstafel von [mm] (Z_3, [/mm] +) aufschreibe. Das bedeutet dass jede Untergruppe (es gibt nur 2, da die Ordnung einer untergruppe die Orndung der Gruppe teilen muss - damit 1 und 3) ein Normalteiler ist. Ich habe also zwei Untergruppen. Eine besteht nur aus dem neutralen element 0 und eine aus allen elementen von [mm] Z_3.
[/mm]
Mit dem Hinweis, dass ich mir überlegen soll, welche surjektiven Homomorphismen von [mm] (Z_3, [/mm] +) auf eine Gruppe existieren und anschließend den Homomorphiesatz für Gruppen anzuwenden, kann ich leider nicht viel anfangen.
Vielen Dank für jede Hilfe. Eventuell wäre jemand so nett und könnte mir den Hinweis erklären :)
lg
davidoffff
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mo 04.04.2011 | | Autor: | davidoffff |
ad aufgabe 2)
für eine kongruenzrelation muss doch gelten, dass
[mm] R_3 [/mm] = {(a,b) [mm] \in [/mm] Z x Z | m | (a-b)} gilt
R1 ={{0},{1},{2}} = {(0,0),(1,1),(2,2)}
R2 ={{0},{1,2}} = {(0,0),(1,1),(2,2),{1,2},{2,1}}
R3 ={{0,1},{2}} = {(0,0),(1,1),(0,1),{1,0},{2,2}}
R4 ={{0,2},{1}} = {(0,0),(2,2),(0,2),{2,0},{1,1}}
R5 ={0,1,2} = {(0,0),(1,1),(2,2),{0,1},{1,0},{0,2},{2,0},{2,1},{1,2}}
Wenn ich jetzt die obige Regel anwende, kann nur R1 eine Äquivalenzrelation sein...
da 3 | (0-0) und 3 | (1-1) und 3 | (2-2)
habe ich das so richtig verstanden?
wie ich den hinweis einsetze weiss ich leider noch nicht.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 06.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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