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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | a(z)= [mm] \frac{-z+1}{z^2-3z+1}
[/mm]
Partialbruchzerlegung |
Hallo
[mm] z^2-3z+1=0
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{-z+ 1}{z^2-3z+1} [/mm] = [mm] \frac{A}{z-\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} [/mm] + [mm] \frac{B}{z - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}
[/mm]
Wie kommen die im Lösungsbuch auf:
[mm] \frac{-z+ 1}{z^2-3z+1} [/mm] = [mm] \frac{A}{1-(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})z} [/mm] + [mm] \frac{B}{1- (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})z}
[/mm]
??
Durch nachrechnen sehe ich das es dasselbe ist, aber wie kommt man darauf?
Liebe Grüße
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Hallo quasimo,
wenn ich mich hier nicht völlig täusche, fogt dies unmittelbar mit dem Satz von Vieta.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
WIe folgt das daraus genau?
Ich kenne den Satz so:
Sei
[mm] x^2 [/mm] + px + q = 0
eine quadratische Gleichung mit den Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] .
dann gilt:
p = - [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] ),
q = [mm] x_1 x_2
[/mm]
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Hallo quasimo,
rechne doch mal [mm] z_1+z_2 [/mm] sowie [mm] z_1*z_2 [/mm] aus. Dann wirst du mir Recht geben, dass es funktioniert. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] x^2 [/mm] $ + px + q = 0
> eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2 [/mm] $ .
> dann gilt:
> p = - $ [mm] (x_1 [/mm] $ + $ [mm] x_2 [/mm] $ ),
> q = $ [mm] x_1 x_2 [/mm] $
Hier: [mm] z^2 [/mm] -3z +1 =0
[mm] z_{1,2} [/mm] = $ [mm] \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} [/mm] $
p = -3
q= 1
Aber was hat das mit der darstellung :$ [mm] \frac{-z+ 1}{z^2-3z+1} [/mm] $ = $ [mm] \frac{A}{1-(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})z} [/mm] $ + $ [mm] \frac{B}{1- (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})z} [/mm] $
zu tun?
Der Satz von vieta sagt doch nur dass die darstellung:
[mm] z^2 [/mm] -3z +1 = [mm] (z-z_1) *(z-z_2) [/mm] gilt
aber nichts von = [mm] (1-zz_1)*(1-zz_2)
[/mm]
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Hallo quasimo,
multipliziere
[mm] (1-z_1*z)*(1-z_2*z)
[/mm]
doch einfach einmal aus und fasse die linearen Summanden wieder durch Faktorisieren zusammen. Jetzt vergleiche dein Resultat mit
[mm] p=-(z_1+z_2) [/mm] sowie
[mm] q=z_1*z_2
[/mm]
welche dem Satz von Vieta für den Spezialfall von quadratischen Gleichungen entsprechen. Was du oben angeführt hast, also die Zerlegung in Linearfaktoren, das basiert wenn schon dann auf dem Fundamentalsatz der Algebra.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] (1-z_1\cdot{}z)\cdot{}(1-z_2\cdot{}z) [/mm] $
= 1 - z [mm] z_2 [/mm] - [mm] zz_1 [/mm] + [mm] z^2 z_1 z_2
[/mm]
= 1 - [mm] z(z_2 [/mm] - [mm] z_1) [/mm] + [mm] z^2 (z_1 z_2)
[/mm]
= 1 + zp [mm] +z^2 [/mm] q
Hab ich da was falsch gemacht=? da das q plötzlich nicht mehr die konstante ist sondern am quadratischen term dran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mi 13.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum die in deinem Buch die Zerlegung so hinschreiben ist mir schleierhaft, deine ist immer gültig, die der lösung nur für q=1
das löst auch das Rätsel warum bei [mm] z^2 [/mm] das z1*z2 steht.
Gruss leduart
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