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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wimalein |
| Aufgabe | 1) Fuer jedes [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] f_{n}: \IQ/\IZ \to \IQ/\IZ, x+\IZ \to [/mm] nx = [mm] \IZ [/mm] ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.
2) ker [mm] f_{n} \cong \IZ/n\IZ [/mm] |
Hallo,
in 1.) zeigt man doch durch den Ansatz [mm] n(x+y)+\IZ [/mm] = [mm] f((x+y)+\IZ)=f(x+\IZ)+f(y+\IZ)=nx+\IZ+ny+\IZ [/mm] dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Allerdings weiss ich nicht, was wohldefiniert in diesem Zusammenhang bedeutet. Koennt ihr mir an der Stelle weiterhelfen?
zu 2.) ker f = [mm] \left\{ x+\IZ : f(x+\IZ)=nx+\IZ=0\right\}
[/mm]
intuitiv ist das der Fall, sobald [mm] nx\in \IZ. [/mm] Das wiederum ist der Fall, wenn [mm] x\in\IZ [/mm] oder x von der Form x=m/n.
Ich weiss nicht, wie ich einen Isom. herstellen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 04.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Fuer jedes [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]f_{n}: \IQ/\IZ \to \IQ/\IZ, x+\IZ \to[/mm]
> nx = [mm]\IZ[/mm] ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.
> 2) ker [mm]f_{n} \cong \IZ/n\IZ[/mm]
>
> in 1.) zeigt man doch durch den Ansatz [mm]n(x+y)+\IZ[/mm] =
> [mm]f((x+y)+\IZ)=f(x+\IZ)+f(y+\IZ)=nx+\IZ+ny+\IZ[/mm] dass f ein
> Gruppenhomomorphismus ist. Allerdings weiss ich nicht, was
> wohldefiniert in diesem Zusammenhang bedeutet. Koennt ihr
> mir an der Stelle weiterhelfen?
Wohldefiniert heisst: ist $x + [mm] \IZ [/mm] = y + [mm] \IZ$, [/mm] so ist $n x + [mm] \IZ [/mm] = n y + [mm] \IZ$.
[/mm]
> zu 2.) ker f = [mm]\left\{ x+\IZ : f(x+\IZ)=nx+\IZ=0\right\}[/mm]
>
> intuitiv ist das der Fall, sobald [mm]nx\in \IZ.[/mm] Das wiederum
> ist der Fall, wenn [mm]x\in\IZ[/mm] oder x von der Form x=m/n.
Du hast also: [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \{ \frac{x}{n} + \IZ \mid x \in \IZ \}$.
[/mm]
Schau dir die Abbildung [mm] $\IZ/n\IZ \to \IQ/\IZ$ [/mm] an, die durch $m + [mm] n\IZ \mapsto \frac{m}{n} [/mm] + [mm] \IZ$ [/mm] gegeben ist. Zeige, dass diese der gesuchte Isomorphismus ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wimalein |
Hey Felix,
vielen vielen Dank. Mir hat dein Denkanstoss super gut geholfen!
VG
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