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Faktoren für Weichzeichner: Reihe von Faktoren mit Summe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 17.05.2021
Autor: Erhy

Hallo!

Für ein Filter möchte ich generisch eine
Reihe von Faktoren bilden, deren Summe 1 ist.

Die Faktoren sollen stetig abfallend sein und soweit wie möglich einem linearen Verlauf angenähert sein.

Gegeben wären die Größen des ersten und letzten Faktors,
sowie die Anzahl der Elemente in der Reihe.

Danke für euren Rat
Erhy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mit den Regeln für die Benutzung unserer Foren einverstanden.

        
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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Mo 17.05.2021
Autor: chrisno

Bevor ich über eine Antwort nachdenke, will ich prüfen, ob ich die Situation richtig verstehe.

Gesucht ist ein Satz von n Faktoren [mm] $a_i$ [/mm] mit [mm] $\summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] = 1$.
Vermutlich gilt [mm] $a_n [/mm] > 0$.
Weiterhin gilt [mm] $a_i [/mm] > [mm] a_{i+1}$ [/mm]
Ob jeweils auch [mm] $\ge$ [/mm] gelten darf, musst Du festlegen.
Weiterhin sind [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] gegeben.
Für die gibt es aber Grenzen, die eingehalten werden müssen.
Zum Beispiel muss [mm] $a_1 [/mm] < 1$ sein.
Auch muss [mm] $a_1 [/mm] > [mm] \br{1}{n}$ [/mm] sein.
Ebenso muss [mm] $a_n [/mm] < [mm] \br{1}{n}$ [/mm] sein.
Das lässt sich noch weiter ausführen, je größer [mm] $a_1$, [/mm] um so weniger beibt ja für die restlichen [mm] $a_i$ [/mm] übrig.
Nun ist noch der "möglichst lineare Verlauf" zu klären. Wenn die [mm] $a_i$ [/mm] über i aufgetragen werden, dann sollen sie möglichst nah an der Verbindungsgerade von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] liegen.
Da gibt es nun verschiedene Kriterien: soll
- die Summe der quadratischen Abweichungen minimiert werden oder
- der maximal vorkommende Abstand minimal werden
- oder etwas anderes?


Bezug
        
Bezug
Faktoren für Weichzeichner: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mo 17.05.2021
Autor: HJKweseleit

Gehen wir mal vom Idealfall aus, dass der Abfall der n Faktoren streng linear ist. Weil die Summe 1 sein soll, hat jeder den durchschnittlichen Wert 1/n.

Für ungerades n=2k-1 hat der mittlere Faktor [mm] a_k [/mm] den Wert 1/n. Zu gegebenem [mm] a_1 [/mm] hast du dann aber keine Wahl mehr für [mm] a_n, [/mm] und es ist [mm] a_i=a_1-\bruch{(a_1-1/n)}{k-1}*(i-1). [/mm]

Beispiel:  n=5, also k=3 und [mm] a_1=0,3. [/mm]
Dann ist [mm] a_3=1/5=0,2 [/mm] und [mm] a_i=0,3-\bruch{(0,3-0,2)}{2}*(i-1)=0,3-0,05*(i-1), [/mm] also

[mm] a_1=0,3 [/mm]
[mm] a_2=0,25 [/mm]
[mm] a_3=0,2 [/mm]
[mm] a_4=0,15 [/mm]
[mm] a_5=0,1 [/mm]
--------
[mm] \summe=1 [/mm]

Für eine gerade Anzahl wird die Überlegung etwas schwieriger...




Viel einfacher ist aber folgende Idee, falls sie deinen Vorstellungen nahe kommt.

Du willst n, aber nicht [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_n, [/mm] wohl aber deren Verhältnis angeben. Dann kannst du ganz einfach folgendes machen:

Beispiel: n=7, [mm] a_1 [/mm] soll 3 mal so groß sein wie [mm] a_7. [/mm]

Setze z.B. [mm] a_1 [/mm] auf 180 und [mm] a_7 [/mm] auf 60. Der Sprung beträgt 120, den verteilst du auf die 6 Lücken, also jedes mal 20 weniger:

180 160 140 120 100 80 60  (linear!)

Die Summe ist aber 840. Deshalb teilst du jetzt jede Zahl durch 840, dann bleibt alles linear und die Summe wird 1.

       3/14  4/21  1/6    1/7   5/42  2/21  1/14
bzw.   9/42  8/42  7/42   6/42  5/42  4/42  3/42


Dieses Verfahren geht auch für kompliziertere Beispiele:

n=8, [mm] a_1=1,5*a_8. [/mm]

Es sind 8 Zahlen, also 7 Sprünge. Der Gesamtsprung sollte also eine durch 7 teilbare Zahl sein. Wenn man den Gesamtsprung mit 2 malnimmt, kommt [mm] a_8 [/mm] heraus, wenn man ihn mit 3 malnimmt [mm] a_1, [/mm] also kann man jede Zahl nehmen, deshalb nehmen wir 7 und für den Einzelsprung die 1.

Verglichen mit [mm] a_1 [/mm] bekomme ich

[mm] a_8=a_1-7=a_1*2/3 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] 1/3 [mm] a_1=7, [/mm] also [mm] a_1=21 [/mm]

Man erhält 21 20 19 18 17 16 15 14

Jetzt noch jede Zahl durch die Summe 140 teilen.




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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Di 18.05.2021
Autor: HJKweseleit

Ich greife mal das Beispiel von Chrisno auf und wende es auf meinen Vorschlag an, weil es gut die Unterschiede darlegt:

[mm] a_1 [/mm] = 0,4
[mm] a_5 [/mm] = 0,1
n=5

Der Mittelwert ist (0,4+0,1)/2=0,25
5 mal Mittelwert gibt 1,25, das sind 25% zu viel.
Um das Verhältnis [mm] a_1/a_5 [/mm] = 4 zu wahren, kürze ich die beiden Werte auf 4/5 ihres Wertes:

[mm] a_1 [/mm] = 0,32
[mm] a_2 [/mm] = 0,08

Gesamtsprung = 0,24, das sind 4 Sprünge zu je 0,06:

0,32   0,26   0,20   0,14   0,08

Summe = 1 und [mm] a_1/a_5 [/mm] = 4

Vorteile: strenge Linearität, keine weitere Einschränkungen, [mm] a_1, a_2 [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] können beliebig sein.
Nachteil: [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_5 [/mm] stimmen normalerweise beide nicht, nur ihr Verhältnis.



Hierfür habe ich eine allgemeine Formel erstellt, die zu beliebigem n und Verhältnis [mm] a_1/a_n [/mm] passt. Ein vorläufiges [mm] a_1 [/mm] nenne ich a, das vorläufige [mm] a_n [/mm] dann b, wobei es nur auf a/b ankommt. Soll sich dies z.B. wie [mm] \pi/\wurzel{2} [/mm] verhalten, setze ich [mm] a=\pi [/mm] und [mm] b=\wurzel{2}. [/mm]

Dann ist

[mm] a_i [/mm] = [mm] \bruch{(a*n-b)-(a-b)*i}{(a+b)*n*(n-1)/2} [/mm]

Für das Beispiel von Chrisno wähle ich

a=4, b=1, n=5 und erhalte

[mm] a_i [/mm] = [mm] \bruch{19-3*i}{50}, [/mm] also

16/50  13/50  10/50  7/50  4/50  bzw.
0,32   0,26   0,20   0,14  0,08


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Faktoren für Weichzeichner: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 17.05.2021
Autor: chrisno

Ich gehe davon aus, dass der erste und der letzte Faktor nicht verändert werden dürfen.
Mein Beispiel hat $n = 5$, [mm] $a_1 [/mm] = 0,4$ und [mm] $a_5 [/mm] = 0,1$
Es müssen [mm] $a_2, a_3, a_4$ [/mm] alle größer als 0,1 sein.
Ich berechne nun, wie viel jeweils zu diesen 0,1 dazu kommen soll.

Allgemein gerechnet sind insgesamt $R = [mm] 1-a_1-(n-1)\cdot a_n$ [/mm] zu verteilen.
Im Beispiel $R = [mm] 1-0,4-(5-1)\cdot [/mm] 0.1$
Dieser Rest soll nun in gleichmäßig fallenden Stücken zu [mm] $a_2, a_3, a_4$ [/mm] addiert werden,
allgemein zu [mm] $a_2, a_3, \ldots a_{n-1}$. [/mm]
Wenn zu [mm] $a_4$ [/mm] ein Stück addiert wird, dann sollen zu [mm] $a_3$ [/mm] zwei Stücke addiert werden und so weiter.
Insgesamt sind das im Beispiel 6 Stücke und im allgemeinen Fall [mm] $\br{(n-1)(n-2)}{2}$ [/mm] Stücke.
Die Größe eines Stücks ist damit R geteilt durch die Anzahl der Stücke.
Dann ist allgemein [mm] $a_i [/mm] = [mm] a_n [/mm] + (n-i) [mm] \cdot \br{2 \cdot (1-a_1-(n-1)\cdot a_n)}{(n-1)(n-2)}$ [/mm] für alle [mm] $a_i$ [/mm] mit 1 < i < n.
und im Beispiel ergibt dies gerundet [mm] $a_2 [/mm] = 0,2$, [mm] $a_3 [/mm] = 0,167$, [mm] $a_4 [/mm] = 0,133$.
Ob du damit zufrieden bist, musst du entscheiden. Nun fallen alle lezten Faktoren linear ab, aber zwischen dem ersten und dem zweiten ergibt sich ein Sprung, also ein anderer Abfall als zwischen den anderen.
Du musst natürlich auch immer testen, ob der zu verteilende Rest größer als Null ist. Anderfalls sind die Forderungen nicht erfüllbar.

Es gibt andere Möglichkeiten den Rest zu verteilen, wie es passieren soll, hängt von deinen Vorstellungen zu dem Filter ab.

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Faktoren für Weichzeichner: ohne strenge Linearität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Di 18.05.2021
Autor: Erhy

Zuerst Danke für die reiche Diskussion zu meiner Frage.
zur allgemeinen Aufgabenbereich meiner Frage:
In der Praxis kodiert man Weichzeichner mit

Resultat  = Wert0 * Fakt0 + Wert1 * Fakt1 ... + Werti * Fakti

wobei die Werte aus den jeweils nächst entfernten Pixeln resultieren.

Sind alle betroffenen Werte gleich, soll das Resultat den selben Wert erhalten.
Deswegen muss die Summe aller Faktoren 1 sein.

Die Linearität der Faktoren soll nur in etwa passen.
Ich könnte mir vorstellen, mit einer Optimierung die Summe der jeweils prozentmäßigen Abweichungen zu minimieren.

Die Größe des erste Faktors bewegt sich in der Praxis zwischen
0.5 und 0.25
Die Größe des letzten Faktors hängt von der Auflösung der Bilddaten ab und ist z.B. bei 8-Bit  maximal 1 / 128

Gruß
Erhy



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Faktoren für Weichzeichner: meinte minimal 1/128
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Di 18.05.2021
Autor: Erhy

Meinte natürlich:
Die Größe des letzten Faktors hängt von der Auflösung der Bilddaten ab und ist z.B. bei 8-Bit  minimal 1 / 128

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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Di 18.05.2021
Autor: chrisno

Heute ist es bei mir zu spät. Ich habe schon mal angefangen, für einen etwas "schöneren" Verlauf zu rechnen. Die Idee ist mit quotientengleichen Änderungen zu arbeiten. Das wäre relativ schnell zu machen. Um die Abweichungen von der Geraden, die [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] verbindet, zu minimieren, muss ich deutlich mehr nachdenken.

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Faktoren für Weichzeichner: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Mi 19.05.2021
Autor: Erhy

Danke!

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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Mi 19.05.2021
Autor: HJKweseleit

Ja, darüber habe ich auch zuerst nachgedacht und das dann gleich wieder verworfen. Bei exakter geom. Folge wäre nämlich

[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1*q^{n-1} [/mm] und damit q = [mm] \wurzel[n-1]{\bruch{a_n}{a_1}}. [/mm]

Sämtliche Faktoren wären damit festgelegt und ihre Summe daher i.a. nicht 1.

Legt man nur [mm] a_1 [/mm] und n fest, so ist die Summe

[mm] a_1\bruch{1-q^n}{1-q}, [/mm] wenn man sie auf 1 setzt, muss man die Gleichung [mm] \bruch{1-q^n}{1-q}=\bruch{1}{a_1} [/mm] lösen, um das passende q zu finden. Der linke Bruch lässt sich kürzen, führt aber auf eine Gleichung (n-1)-ten Grades.




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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Mi 19.05.2021
Autor: chrisno

Nur zur Sicherheit:
Der erste und der letze Faktor dürfen nicht verändert werden?
Bitte bestätige dies ausdücklich.

Wie der Filter in zwei Dimensionen angewandt werden soll, dazu habe ich eine Idee. Allerdings ist das ja nciht die Frage, die Du gestellt hast.

Vielleicht schafe ich es heute abend noch, dir weitere Vorschläge zu machen.

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Faktoren für Weichzeichner: 1. und letzte Faktor
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 19.05.2021
Autor: Erhy

Hallo Chrisno!
Der 1. und letzte Faktor können gerne um 5 Prozent abweichen.
Gruß
Erhy

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Faktoren für Weichzeichner: Korr.; 1. und letzter Faktor
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Mi 19.05.2021
Autor: Erhy

Hallo Chrisno!
Der 1. und der letzte Faktor können gerne um 5 Prozent abweichen.
Gruß
Erhy

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Faktoren für Weichzeichner: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Do 20.05.2021
Autor: chrisno

Für heute habe ich mal zwei Beispiele für die Version mit den Punkten auf der Parallelen berechnet. Der Algorithmus ist noch nicht formuliert.

[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Kreuze gehören zu meinem ersten Vorschlag, dem linearen Verlauf, mit der Ausnahme des ersten Punktes. Gestrichelt ist die Verbindung zwischen [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_4$. [/mm] (Ich habe den Index verschoben.)
[mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] liegen auf der Geraden parallel zur Verbindung. Der Versuch, auch [mm] $a_3$ [/mm] auf so eine Gerade zu legen führt zwar zu einem kleineren Abstand zur Verbindung, aber [mm] $a_3$ [/mm] wird dann kleiner als 0,1, was ja nicht zulässig ist.

[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun habe ich [mm] $a_0$ [/mm] auf 0,25 verkleinert. Die Symbole und Farben sind wie vorher.
Für meinen ersten Voschlag ergibt sich der lineare Abfall für die ersten Punkte. Der letzte kann nicht dabei sein. Für die Punkte auf der Parallelen ist zu sehen, dass [mm] $a_1$ [/mm] größer als 0,25 ist. Daher muss [mm] $a_1$ [/mm] auf 0.25 festgelegt werden. Entsprechend wandern [mm] $a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] noch etwas nach oben.

Die Möglichkeit, [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_4$ [/mm] etwas zu ändern, nutze ich nicht. Dadurch wird alles noch komplizierter.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Faktoren für Weichzeichner: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:46 Do 20.05.2021
Autor: chrisno

Ich habe weiterhin Bedenken, dass mit dem Kriterium, dass der erste und letzte Faktor auf einem festen Wert bleiben sollen, häufig die verbleibenden Faktoren nicht berechnet werden können.
Nimm ein Filter mit 10 Faktoren. Wenn der erste Faktor 0,4 ist und der letzte 0,1, dann müssten alle dazwischen mindestens 0,1 haben, und die Summe wäre 1,3, also größer als 1.
Für das Weitere muss ich annehmen, dass die erste und letzte Koeffizient so vorgegeben werden, dass die dazwischen liegenden überhaupt bestimmt werden können. Dann frage ich mich, warum die nicht gleich so festgelegt werden, dass sich der gewünschte lineare Verlauf für alle ergibt. Dann hat HJKweseleit schon das Nötige geschrieben.
Bei dem, was ich angefangen habe, werden immer Fallunterscheidungen nötig, einmal auch noch eine Iteration. Ist der zu erwartende Gewinn diesen Aufwand wert?

Mein nächster Vorschlag ist, die verbleibenden Filterkoeffizienten auf eine Gerade zu legen, die parallel zu der Verbindungsgeraden zwischen dem ersten und letzten Koeffizienten (über dem Index der Koeffizienten aufgetrtagen) liegt. Damit die Summe 1 ergibt, kann es sein, dass ein Teil der Koeffzienten den Wert des ersten oder letzen erhält. So wird die größte vorkommende Abweichung von der Verbindungsgeraden minimal gehalten.

In meinem Beispiel:
a1 = 0,4
a2 = 0,4
a3 = 0,2375
a4 = 0,1625
a5 = 0,1


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Faktoren für Weichzeichner: relevante Angaben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Do 20.05.2021
Autor: Erhy

natürlich sind beliebige Angaben nicht zielführend.

z.B.
bei einer Reihe mit 6 Faktoren und dem
Ersten mit dem Wert 0,4
und dem Letzten mit 0,08
sind etwa noch Variationen möglich.

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Faktoren für Weichzeichner: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Do 20.05.2021
Autor: HJKweseleit

Habe mir nochmals Gedanken zur geometrischen Folge gemacht.

Nach dem Weber-Fechmerschen Gesetzt ist es so, dass die Sinneswahrnehmungen des Menschen logarithmisch zur Intensität des Reizes empfunden werden, d.h., wenn ich eine Lichtenergie verdopple, wird sie nicht als doppelt so intensiv wahrgenommen, sondern schwächer.

Für unser Problem würde das bedeuten: Wenn vom niedrigsten zum höchsten Wert die Intensität einer Farbe linear ansteigend EMPFUNDEN werden soll, muss sie exponentiell ansteigen, und man erhält eine geometrische Folge!

Um so etwas zu realisieren, gibt man sich entweder [mm] a_1 [/mm] und n oder [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_n [/mm] (n unbekannt) vor.

Bei Vorgabe von [mm] a=a_1 [/mm] und n ist nach der Summenformel die Summe = [mm] a\bruch{1-q^n}{1-q}=!1. [/mm]

Um q zu ermitteln, stelle ich die Gleichung nach 0 um und mache eine Fkt. daraus:

[mm] a(1-q^n)-1+q=0 [/mm]

[mm] f(x)=a(1-x^n)-1+x, [/mm] Nullstelle gesucht.

Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren und f'(x)= [mm] 1-nax^{n-1} [/mm] ergibt sich

[mm] x_{neu}=x-\bruch{a(1-x^n)-1+x}{1-nax^{n-1} }. [/mm] Als Startwert bietet sich x=0 an.

Beispiel: Für a=0,7 und n=5 habe ich nach 3 Schritten x=q=0,30175 erhalten und damit

0,7   0,2123   0,0637   0,0192   0,0058

Für a=0,5 und n=5 ergibt sich x=q=0,51879 und damit

0,5   0,2594   0,1346   0,0698   0,0362


Für den Fall, dass man [mm] a=a_1 [/mm] und [mm] a_n, [/mm] aber nicht n kennt, geht das komplizierter:

zunächst mal ermittelt man [mm] b=a_n/a_1=q^{n-1}. [/mm] Nach q aufgelöst und in [mm] a(1-q^n)-1+q=0 [/mm] eingesetzt erhält man

[mm] a(1-b^{n/(n-1)})-1+b^{1/(n-1)}=0 [/mm]  und daraus

[mm] f(x)=a(1-b^{x/(x-1)})-1+b^{1/(x-1)} [/mm] sowie f'(x)= [mm] (ab-1)*b^{1/(x-1)}*ln(b)/(x-1)^2. [/mm]  Daraus resultiert dann

[mm] x_{neu}= [/mm] x - [mm] \bruch{a(1-b^{x/(x-1)})-1+b^{1/(x-1)}}{(ab-1)*b^{1/(x-1)}*ln(b)/(x-1)^2}. [/mm]

Da x=n nur ganzzahlig sein kann, müsste man hier runden.

Für [mm] a_1=a=0,5 [/mm] und [mm] a_n=1/128 [/mm] ergeben sich [mm] n\approx [/mm] 7 und daraus [mm] q=(1/64)^{1/6}=0,5 [/mm] sowie

0,5   0,25   0,125   0,0625   0,03125  0,015625   0,0078125
und als Summe 0.9921875.

Um auf 1 zu kommen, kann man mit [mm] a_1=0,5 [/mm] und n=7 nochmals in den ersten Algorithmus gehen und erhält dann q=0,5041 sowie

0,5   0,2521   0,1271   0,0641   0,0323   0,0163   0,0082
und als Summe 1,0001.

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Faktoren für Weichzeichner: das leuchtet mir ein
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Sa 22.05.2021
Autor: Erhy

Danke für deinen Beitrag HJKweseleit!
Das leuchtet mir ein
Erhy

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Faktoren für Weichzeichner: wie wende ich q an?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:41 So 23.05.2021
Autor: Erhy

Danke für deine umfassende Antwort!

Ich konnte das bilden des jeweiligen q nachvollziehen.

Aber wie wende ich q an,
um die gesuchte Faktoren-Reihe zu ermitteln?

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Faktoren für Weichzeichner: f[i] = f[i-1] * q
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 So 23.05.2021
Autor: Erhy

habs überrissen:
Die Reihe entwickelt sich, indem man den vorherigen Wert mit q multipliziert.

Danke
Erhy

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Faktoren für Weichzeichner: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Fr 21.05.2021
Autor: chrisno

Nun habe ich noch die ie Beispiele um den Abfall in gleichem Verhältnis ergänzt.
Genauer: [mm] $(a_i-a_4) [/mm] = [mm] (a_0 [/mm] - [mm] a_4) q^i$ [/mm] für i = 1, 2, 3
Im zweiten Plot sieht man, dass es keinen großen Unterschied ergibt. Das ist auch klar, da es wenig Spielraum für die Koeffizeinten gibt. Wäre [mm] $a_0 [/mm] = 0,225$, dann müssten [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $a_3$ [/mm] auch diesen Wert haben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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