Fachreferat 12klasse < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Di 18.04.2006 | | Autor: | mona386 |
| Aufgabe | In einem Betrieb werden Schrauben mit zwei Maschinen produziert. Aus Erfahrung weiß man, dass 5% der von Maschine 1 produzierten schrauben Ausschussstücke sind. Maschine 2 produziert 20% Ausschussstücke. Die von jeder Maschine hergestellten Schrauben werden getrennt in Schachteln verpackt und als erste bzw. zweite Wahl edikettiert.
Von einer Schachtel ist das Edikett verloren gegangen. Der Werkmeister will schnell entscheiden, von welcher Maschine die Schrauben produziert worden sind. Er entscheidet sich 10 Schrauben zu prüfen, indem er sie in eine genormte Mutter dreht. Sollte höchstens eine Schraube nicht passen, so entscheidet er sich für erste Wahl , sonst für zweite Wahl. |
Hallo..
habe von meinem Mathelehrer diese Aufgabe für mein Fachreferat (Stellen Sie die Grundlagen und Begriffe des Prüfens von Hypothesen an folgendem Beispiel vor) bekommen. Hab durch private Probleme die Schule in letzter Zeit leider etwas schleifen lassen und dieses Referat ist nun meine letzte Möglichkeit meine Mathenote wieder ins Reine zu bringen.. Nur leider hab ich schon große Lücken und hoffe ihr könnt mir beim Lösen dieser Aufgabe weiterhelfen. Natürlich arbeite ich auch selbst zu hause weiter.
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen und bedanke mich..
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Ramona,
das wird aber zeitlich knapp! Weißt du denn, was eine Binomialverteilung ist und wie sich da die Wahrscheinlichkeiten berechnen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Di 18.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi ramona,
statler hat recht, das Thema an sich ist schon ziemlich umfangreich, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass du schon gewisse Ahnung von W'keitsrechnung hast.
Bei Hypothesentests versucht man aufrgrund einer kleinen Stichprobe auf die zugrundeliegenden Verteilungseigenschaften der Allgemeinheit zu schliessen. Also von Eigenschaften der 10 Schrauben auf alle in der Schachtel. Dabei hatt der Prüfer eine sog. Nullhypothese (kurz [mm] H_0), [/mm] von der er nur abweicht, zugunsten eine Alternative (oder auch Alternativhypothese, [mm] H_1 [/mm] genannt), wenn er guten Grund dafür hat, ansonsten wird er sie weiterhin für wahr halten. "Einen Guten Grund haben [mm] H_0 [/mm] abzulehnen", wird als Signifikanz bezeichnet. Man sagt auch "Das Testergebnis ist signifikant". Es leuchtet ein: Sind von den 10 wenige Kaputt spricht das für 1.Wahl, sind viele kaputt für 2.Wahl.
Trotzdem ist es nicht ausgeschlossen, dass obwohl in Wirklichkeit nur wenige kaputt sind (die Nullhypothese, also wahr ist)(1.Wahl), wir zufällig 4 oder 5 kaputte aus der Schachtel erwischen und so denken, sie wären 2.Wahl. Das ist eine Fehlentscheidung. Es gibt 2 solcher möglichen Fehlentscheidungen:
(Jetzt wirds wichtig)
Einen Fehler 1.Art (auch [mm] \alpha-Fehler [/mm] genannt) begeht man, wenn man eine Nullhypothese ablehnt, obwohl sie wahr ist.
Einen Fehler 2.Art (auch [mm] \beta-Fehler [/mm] genannt) begeht man, wenn man eine Nullhypothese nicht ablehnt, obwohl sie falsch ist.
Wann man [mm] H_0 [/mm] ablehnt und wann nicht, wird durch eine Entscheidungsregel bestimmt. Hier ist die Entscheidungsregel: [mm] H_0 [/mm] ablehnen, wenn mehr als eine Schraube kaputt ist. [mm] K=\{2\ldots 10\} [/mm] nennt man darum auch den Ablehnungsbereich von [mm] H_0 [/mm] und [mm] \overline{K}=\{0\ldots 1\} [/mm] den Annahmebereich.
Wie gross ist, jetzt die W'keit einen Fehler 1. Art zu begehen? Das ist einfach die W'keit, [mm] H_0 [/mm] abzulehnen, obwohl sie zutrifft:
sei X: Anzahl der aus der Schachtel gezogenen kaputten Schrauben
X ist annährend Binomialverteilt mit Parametern n=10 und (wenn [mm] H_0 [/mm] zutrifft) p=0,05
[mm] P_{H_0}(X\in K)=P_{H_0}(X\ge 2)=1-P_{H_0}(X\le 1)=1-(P_{H_0}(X=0)+P_{H_0}(X=1))=1-(\vektor{10 \\ 0}*0,05^0*0,95^{10}+\vektor{10 \\ 1}*0,05^1*0,95^9 [/mm] )=(rechne selbst)
Diese Art von Test nennt man auch rechsseitig, weil der Ablehnungsbereich rechts liegt. Es gibt auch linksseitige (die laufen sehr analog) und beidseitige Test. Hier ist es sogar noch etwas spezieller. Wenn man eine konkrete Alternative angegeben hat wird ein Test auch als Alternativtest bezeichnet (ist aber von der Durchführung her wie ein gewöhnlicher rechtseitiger Test).
Man möchte verständlicherweise beide Fehler möglichst gering halten, aber das ist nicht ohne weiteres möglich. Wenn man den Ablehungsbereich K zu klein wählt, bedeutet das automatisch einen grossen Annahmebreich, dann wird man die W'keit [mm] P_{H_1}(X\in \overline{K}), [/mm] den Fehler 2.Art vergrössern. Eine gleichzeitige Verringerung beider W'keiten erlang man nur durch eine Vergrösserung des Stichprobenumfangs.
In der Praxis wählt man den Ablehnungsbereich so, dass die W'keit für eine Fehler 1.Art, auch Irrtumswahrscheinlichkeit oder einfach [mm] \alpha [/mm] nicht grösser als 0,05=5% ist (das hat nichts mit den 5% kaputten Schrauben zu tun).
Da man nur den [mm] \alpha-Fehler [/mm] kontrolliert, ist es oft von Bedeutung, wie man seine Nullhypothese wählt. Man könnte ja hier "Schrauben sind 1.Wahl" als [mm] H_0 [/mm] bezeichnen oder "Schrauben sind 2.Wahl" als [mm] H_0 [/mm] wählen. Das kommt drauf an, welchen Irrtum man möglichst vermeiden möchte, denn nur die W'keit für einen Fehler 1.Art hält man gering.
Der Werksmeister wird denken: Ich möchte nicht, dass ich gute Schrauben billig als 2. Wahl verkaufen muss, also soll die W'keit, dass ich gute Schrauben [mm] (H_0), [/mm] als schlecht ansehe, gering halten. Das nennt man auch Produzentenrisiko, weil ein Fehler sich nachteilig für ihn auswirkt.
Der Autokäufer würde denken: Da mit den Schrauben Autos gebaut werden, möchte ich nicht,dass schlechte Schrauben als 1. Wahl ausgegeben, werden, weil das Auto sonst zusammenbricht. Also soll die W'keit, schlechte Schrauben (dann als [mm] H_0 [/mm] bezeichnet) als gute annzunehmen, möglichst gering sein. Das nennt man Konsumentenrisiko, da ein Fehler zu Lasten des Konsumenten geht.
Eine häufige Rechenaufgabe im Zusammenhang mit Hypothesentest ist, sich eine Irrtumsw'keit vorzugeben (oft 5% oder 1%) und dann den Ablehnungsbereich zu bestimmen. Dann muss man in einer W'keitstabelle nachkucken, für welches k gilt (n=Stichprobengrösse ist dann auch wieder vorgegeben):
[mm] P_{H_0}(X\in \{k\ldots n\})\leq [/mm] 0,05.
Eine Bemerkung noch. Wenn man [mm] H_0 [/mm] ablehnen kann, weil X im Ablehnungsbreich ist, ist dies ein starkes Indiz gegen [mm] H_0, [/mm] ein (wie schon erwähnt) sog. signifikantes Testergebnis (war [mm] \alpha=0,01, [/mm] sagt man auch hoch signifikant), denn ein Irrtum ist recht unwahrscheinlich.
Kann man eine Nullhypothese jedoch nicht ablehnen, weil X im Annahmebreich ist, ist dies kein starker Beweis, dass [mm] H_0 [/mm] wahr ist. Es heisst lediglich, dass es kein starkes Indiz dagegen gibt. Im Falle einer Annahme (oft auch Nicht-Ablehnung oder Beibehaltung genannt) darf man sich trotzdem [mm] H_0 [/mm] nicht zu sicher sein.
So das war mal die Spitze des Eisbergs. Ich empfehle ein Google suche nach Hypothesentest um alles nochmal zu festigen. Kannst ja auch mal nach zweiseitigen Test kucken, wenn du die einseitigen im Griff hast. Weiterführende Begriffe wären noch p-Wert und evtl. Güte
Viel Erfolg
L G walde
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