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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 So 24.02.2008 | | Autor: | X-Kn |
Hallo zusammen,
nachdem mein Lehrer das Thema "Paradoxa" abgelehnt hatte habe ich mich entschlossen etwas über die Taylorreihe zu machen. Mein Lehrer meinte dann, dass das 10 Unibücher füllen würde und das viel zu viel wäre und zu kompliziert und zu ungenau usw... er meinte ich soll jetzt das Konkrete Thema "Taylorreihe am Besispiel von: ..." machen. Auf die Frage was ich den als Beispiel nehmen solle, kam nur die dumme Antwort, dass ich das selbst suchen muss.
Ich hatte schon die Cosinusfunktion ins Auge gefasst und hoffe ihr könnt mir mit Materialien helfen oder mir ein besseres Beispiel nennen. (brauche nur so viel, dass ich morgen Ansätze vorweisen kann)
Hoffe ihr könnt mir helfen habe im Internet bis jetzt kaum was gefunden.
Danke und Gruß Andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 24.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
cosx, sinx, [mm] e^x [/mm] sind gute Beispiele für Taylorreihendarstellung.
Weisst du denn, was ne Taylorreihe ist? cosx und sinx gleichzeitig darzustellen ist leicht, vielleich solltest du deshalb noch [mm] e^x [/mm] oder ln(1+x) dazunehmen.
Alle drei erfordern nicht sehr viel Rechnerei, so dass man das Prinzip gut erklären kann.
Um mehr auskünfte von uns zu kriegen, solltest du sagen, was du schon weisst.
etwa ein Polynom ist seine eigene Taylorreihe.?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 24.02.2008 | | Autor: | X-Kn |
Ok danke schonmal,
also ich weiß was eine Taylorreihe ist. Aber die Herleitung hab ich noch nicht ganz raus (wobei mein Lehrer auch miente allein damit würden sich Unibücher füllen lassen, was sdeiner Meinung nach warhscheilich mit 1+1=2 gehen würde) Leider ist es generell schwer zugängliche Matreialien zu finden, da die meisten Sachen einfach nicht von Anfang an alles erklären sondern meist mittendrin ansetzen.
Ist es den unbedingt nötig die konkrete Herleitung zu kennen oder könnst ihr mir auch schon weiterhelfen, wenn ich weiß, was die Taylorreihe bezweckt und wie die Formel lautet?
Gruß Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 24.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fang damit an, dir klar zu machen, dass man eine Gerade kennt, wenn man einen Punkt und die Steigung kennt. eine Parabel, wenn man einen Punkt, die Steigung in dem Punkt und ie Änderung der Steigung, also 2. Ableitung in dem Pkt. kennt.
ein Polynom n-ten grades ist eindeutig bestimmt, wenn man den Wert in einem Punkt kennt und alle Ableitungen bis zur n_ten in dem Punkt.
Und Polynome ( und ihre Quotienten, rationale fkt) sind die einzigen, die man direkt an jeder Stelle berechnen kann. Der TR täuscht uns vor, dass man das auch mit sin,cos,e^ln usw. kann, aber das ist falsch. der TR rechnet immer nur einen "ungefähr" Wert dieser fkt. aus.
Nun gibt es aber ne Menge interessante Funktionen, deren Ableitungen an einer Stelle man gut kennt, bzw. die dadurch eigentlich definiert sind. wie etwa die e-fkt die durch f'=f und f(0)=1 definiert ist, die sin und cos fkt, die durch
f''=-f und f(0)=0 bzw. f(0)=1 definiert sind . die kann man jetzt versuchen mit Polynomen "ungefähr" zu bestimmen, deren Ableitungen mit denen der Funktionen übereinstimmen. also sucht man etwa für die e-fkt ein Polynom, was an er Stelle x=0 den Wert 1 hat, und alle Ableitungen auch den Wert 1. wenn man so ein Polynom n-ten Grades gefunden hat, nennt man es das zur e-fkt gehörende taylorpolynom n-ten Grades.
Das ist schon mal ein guter Anfang. Dann kommt die Untersuchung, wie gut so ein Taylorpolynom eigentlich ist, d.h. etwa, wie genau es nicht f(0) ausrechnen kann, das ist exakt, sondern wie genau es f(1) oder f(0,1) noch rechnen kann.
das ist schon was schwieriger. aber wenn man ein einfaches Taylorpolynom hat, kann man das noch abschätzen.
So das ist erst mal viel für den Anfang und Einstieg. jetzt musst du erst mal was tun.
(ganze Uni bücher füllt das übrigens nicht, nur 1 bis 2 kapitel in anfänger büchern. (wenigstens für 1 dimensoinale funktionen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 So 24.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du brauchst diese Reihen, um Funktionen, wie die, die schon genannt wurden, in Polynome umzuwandeln, zumindest an bestimmten Stellen (Entwicklungspunkten).
Das erreicht man damit, indem man ein Polynom n-ten Grad findet, das mit den ersten n Ableitungen in dem Punkt übereinstimmt. Je höher der Grad, desto besser die Annäherung dann.
Brauchen tut man das u.A., wenn man Flächen näherungsweise berechnen möchte, aber man die Ausgangsfunktion nicht integrieren kann.
Vielleicht kannst du als Beispiel mal [mm] f(x)=e^{x^2} [/mm] nehmen. Das zu integrieren könnte problemtisch werden. Damit kann man auch schlecht die Fläche unter dem Grafen bestimmen.
Aber ableiten lässt sich das recht einfach und damit kann man auch leicht ein Taylorpolynom dafür aufstellen.
Das Taylorpolynom 4. Grades wäre [mm] T_4(x)=\bruch{1}{2}x^4+x²+1. [/mm] Kannst ja mal nachrechnen.
Außerdem, das ist aber BLOßE VERMUTUNG, denke ich, dass z.B. Taschenrechner Sinus-/Kosinus-/...werte auch mit Hilfe von Taylorpolynomen berechnen.
Wenn das nicht stimmt, bitte ich um Richtigstellung.
jemand aus dem Forum hat da mal eine PDF zum thema erstellt, habe die aber leider nicht mehr. Da war auch eine schöne Herleitung für das Thema.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 24.02.2008 | | Autor: | X-Kn |
DAnke,
das war schon hilfreich. Ich hoffe nur mein Mathelehrer ist einmal kein so großes Arsch und meint nicht wieder: "das ist zu schwammig" "damit kann man 10 Unibücher füllen" oder "das ist zu ungenau". für den Rest hab ich noch bis zum 15. März Zeit.
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