Facharbeit: Siebeneck < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 24.08.2006 | | Autor: | devil87 |
| Aufgabe | | Die klassischen Probleme der antiken griechischen Mathematik und ihre Auswirkungen auf die Moderne. |
Mein Facharbeitsthema ist sehr "offen" gestellt, wie es mein Kursleiter so schön formuliert hat. Was er von mir erwartet ist folgendes: Ich soll mir eins der klassischen mathematischen Probleme der Griechen aussuchen ("unlösbare Probleme"), selbst Lösungswege suchen, herausfinden wer das Problem doch lösen konnte und einen Mathematiker aus der moderneren Zeit suchen, der sich ebenfalls mit dem Thema beschäftigt hat bzw. welche Auswirkungen dieses Problem auf die moderne Zeit hat.
Nach langem Lesen in verschiedenen Büchern habe ich mich für die Konstruktion des Siebenecks entschieden und auch gleich einen Mathematiker, genauer gesagt Archimedes, gefunden, der sich ebenfalls damit beschäftigt hat. Probleme macht mir vor allem der Teil mit dem "eigenen Lösungsversuch", hab natürlich ein paar Konstruktionen ausprobiert, sind aber natürlich alle ungenau (mit Zirkel und Lineal nicht lösbar.. ). Auf wikipedia.de hab ich auch zwei "Näherungskonstruktionen" gefunden, aber ich kann diese ja schlecht als meine Ideen ausgeben.
Kann mir vielleicht jemand einen Denkanstoß geben, wie ich selbst Lösungswege entwickeln kann?
Und vielleicht kennt ja noch jemand einen Mathematiker der sich mit dem Siebeneck beschäftigt hat (meine Fernleihebücher zur Moderne sind leider noch nicht angekommen... -.-).
Danke für alle Hinweise!
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Hallo,
natürlich ist es schwierig, das Rad neu zu erfinden, denn es haben sich etliche Leute daran versucht, zuerst eine exakte Lösung zu finden und dann wenigstens eine gute Näherung...
Aber bevor du wild drauf loszeichnest:
Überleg dir, welche Konstruktionen du allein mit Zirkel und Lineal hinbekommst: Strecke halbieren, Winkel halbieren, Lot fällen, diverse andere regelm. Vielecke, Strahlensätze umsetzen, addieren, subtrahieren usw.
Die Näherungslösung könnte darauf hinauslaufen, den Innenwinkel [mm] \bruch{360°}{7} [/mm] oder die Seitenlänge mit den dir gegebenen Mitteln zu approximieren. Dabei muss bei deiner Näherung nicht unbedingt der Winkel selbst herauskommen, sondern evtl. ein ganzzahliges Vielfaches (im Siebeneck ist auch das Dreifache des Innenwinkels hilfreich, auch wenn man sonst keinen beliebigen Winkel dritteln kann - du kannst ja mal überlegen, wieso...) oder eine Summe oder Differenz aus dem Vielfachen und einem einfach zu konstruierenden Winkel wie 45°, 90°, 180°.
Vielleicht kann ich ja meine Idee präsentieren. Sie liefert ein Siebeneck mit einer Innenwinkelsumme von 359,36°. Ich denke, für den Anfang ist das gar nicht mal so schlecht:
1. Gegeben ist ein Kreis beliebigen Durchmessers.
2. Falls noch nicht vorhanden, zeichne einen Durchmesser (evtl. über den Kreis hinausgehend) sowie den Mittelpunkt M ein.
3. Vom Mittelpunkt ausgehend zeichne viermal dieselbe Strecke auf dem Durchmesser nach links ab. Auf dem Endpunkt A dieser Strecke errichte ein Lot und zeichne darauf die ursprüngliche Strecke einmal nach oben ab. Der Endpunkt sei B.
4. Der Strahl von M durch B schneidet den Kreis im Punkt P.
5. Zeichne diesmal vom Mittelpunkt ausgehend fünfmal dieselbe Strecke (kann anders sein als bei 3.) auf dem Durchmesser nach rechts ab. Auf dem Endpunkt C dieser Strecke fälle ein Lot und zeichne darauf die gewählte Strecke einmal nach oben ab. Der Endpunkt sei D.
6. Der Strahl von M durch D schneidet den Kreis im Punkt Q.
7. Der längere Bogen von P nach Q bildet ungefähr den Winkel [mm] 4*\bruch{360°}{7}. [/mm] Durch zweifaches Halbieren dieses Winkels erhält man den Innenwinkel des Siebenecks und kann diesen per Zirkel auf dem Kreisbogen abtragen.
So, längliche Anleitung, in der, im Grunde genommen, zwei rechtwinklige Dreiecke errichtet und ihre Hypotenusen verlängert werden.
Falls dich dieser Ansatz interessiert und/oder etwas unklar ist, können wir uns ja weiter darüber unterhalten. Ich kann auf Wunsch evtl. eine Skizze nachliefern.
Ach ja: Ich habe den Ansatz nirgends herauskopiert. Vielleicht ist er ja irgendwo beschrieben, weil er so simpel ist, aber ich brauche kein schlechtes Gewissen zu haben. Die Dreiecksmaße sind dementsprechend auch von mir. Bei Winnetous Ehre!
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 25.08.2006 | | Autor: | devil87 |
vielen vielen dank erstmal, hat mir wirklich geholfen!
die konstruktion habe ich gerade ausprobiert, hat perfekt geklappt. nur eins ist mir noch unklar: wie kommt man genau auf sowas?
selbst wenn ich mir überlege: ich suche einen winkel, der wenn man ihn durch 4 teilt ungefähr [mm] \bruch{360}{7} [/mm] ° groß ist, dann wäre ich glaube ich trotzdem nicht auf die idee mit den streckenabschnitte gekommen (3.&5.)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Fr 25.08.2006 | | Autor: | devil87 |
mir kam da gerade so eine idee, bin mir aber unsicher ob es der richtige weg ist. meine berechnungen:
[mm] \bruch{180°+x}{4}=\bruch{360°}{7}
[/mm]
-->x [mm] \approx [/mm] 25,7°
--> spitze winkel zweier rechtwinkliger dreiecke zusammen 25,7°
festlegung: [mm] \bruch{x1}{x2} [/mm] = 4:5 (kann man das einfach so festlegen?)
--> x1=11,4° ; x2=14,3°
Im dreieck von x1:
Verhältnis b:c = tan(11,4) [mm] \approx [/mm] 0,2
--> b:c=1:5
--> die abtragung aus 5. ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
Nun, man kann es so einfach festlegen. Man muss aber vorher auf ein Verhältnis kommen, das eine gute Näherung liefert.
Es stimmt natürlich, dass das Verhältnis Gegenkathete:Ankathete gleich dem Tangens ist. Du kannst also auch nach möglichst guten Verhältnissen dieser Art suchen, da es auf dasselbe hinausläuft.
Gruß
Martin
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Na ja, wie schon gesagt: Man überlegt sich zuerst, was man nur mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist mir als tauglich erschienen, weil sich ein Lot leicht fällen lässt und die anderen beiden Winkel die unterschiedlichsten Werte annehmen können.
Ich habe angefangen mit einem rechtw. Dreieck und wollte sehen, wie gut ich [mm] \alpha=\bruch{360°}{7} [/mm] mit möglichst einfachen (sprich: ganzzahlig und klein, möglichst unter 10) Kathetenlängen approximieren kann.
Dazu habe ich ein simples Progrämmchen geschrieben, das für die beiden Katheten die Werte 1 bis 10 durchprobiert und die Kombinationen mit kleinen Abweichungen ausgibt.
Übrigens liefert ein Dreieck mit den Kathetenlängen 4 und 5 ein noch besseres Ergebnis als die von mir beschriebene Konstruktion.
Der nächste Schritt war der Übergang zu zwei Dreiecken, weil man da eben noch mehr Näherungen bekommt. Hier musste ich eben statt zwei Katheten vier variabel machen, also vier For-Schleifen. Gott sei Dank gibt es ja Rechner!
Und weil man ja nicht unbedingt [mm] \alpha [/mm] direkt approximieren muss, habe ich diverse Ansätze ausprobiert, wie eben z.B. auch [mm]4*\alpha-180°[/mm] zu approximieren, was die beschriebene Lösung lieferte.
Kurz: Auf die Idee muss man irgendwie kommen, die optimalen Parameter liefert der Rechner. Ich denke, gegen einen solchen Ansatz kann dein Lehrer nichts haben.
Übrigens schwirren mir da noch andere Ansätze durch den Kopf:
gleichschenklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen, andere regelmäßige Vielecke kombiniert etc.
Und zu guter Letzt: Ich habe keine Ahnung von den Bestimmungen, die für eine Facharbeit gelten. Ich will dir also nichts vorwegnehmen, was du dann nicht mehr schreiben darfst. Also sag Bescheid, wenn ich etwas nicht zu detailliert schreiben soll...
Gruß
Martin
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